Высшая математика

Высшая школа технологии и энергетики СПбГУПТД

Министерство образования и науки Российской Федерации
Санкт-петербургский Государственный технологический Университет Растительных полимеров
МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания
для студентов технических специальностей заочной формы обучения
Санкт-Петербург
2012

Задачи для контрольных заданий:

1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
11- 20.
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти:
1)длину ребра А1А2 ;
2)угол между рёбрами А1А2 и А1А4;
3)угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
4)площадь грани А1А2А3;
5)объём пирамиды;
6)уравнение прямой А1А2 ;
7)уравнение плоскости А1А2А3;
8)уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж.

21.
Уравнение одной из сторон квадрата x+3y-5=0. Составить уравнения трёх остальных сторон квадрата, если (-1;0) есть точка пересечения его диагоналей.

22.
Даны уравнения одной из сторон ромба x-3y+10=0 и одной из его диагоналей x+4y-4=0. Диагонали ромба пересекаются в точке (0;1). Найти уравнения остальных сторон ромба.

23.
Уравнения двух сторон параллелограмма: x+2y+2=0 и x+y-4=0, а уравнение одной из его диагоналей: x-2=0. Найти координаты вершин параллелограмма.

24.
Даны две вершины А(-3;3) и В(5;-1) и точка В(4;3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

25.
Даны вершины А(-3;2), В(4;-1), С(1;3) трапеции ABCD (AD||BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты D этой трапеции.

26.
Даны уравнения двух сторон треугольника 5x+4y+15=0 и 4x+y-9=0. Его медианы пересекаются в точке (0;2). Составить уравнение третьей стороны треугольника.

27.
Даны две вершины треугольника A(2,-2), B(3,1) и точка пересечения его медиан P(1,0). Найти уравнение высоты, опущенной из третьей вершины С.

28.
Даны уравнения двух высот треугольника и вершина A(0,2). Составить уравнение сторон треугольника.

29.
Даны уравнения двух медиан треугольника x-2y+1=0 и y-1=0 и одна из его вершин (1;3). Составить уравнения его сторон.

30.
Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x-2y-8=0 и 3x-2y-8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны.

31.
Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от начала координат и от точки A(5;0) относятся как 2:1.

32.
Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(-1;8) вдвое меньше расстояния её от прямой x=-4.

33.
Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 5x+8=0 относятся как 5:4.

34.
Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4;0), чем от точки В(1;0).

35.
Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 2x+5=0 относятся 4:5.

36.
Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(3;0) вдвое меньше расстояния от точки В(26;0).

37.
Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки А(0;2) и от прямой y-4=0.

38.
Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности x2+y2=4x.

39.
Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(2;6) и от прямой y+2=0.

40.
Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки А(-4;0) втрое дальше, чем от начала координат.

41-50.
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя...

51-60.
Задана функция y=f(x) и два значения аргумента x1, x2.
Требуется:
1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
2) в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа;
3) сделать схематический чертёж.

61-70.
Найти производные dy/dx данных функций...

71-80.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке: [a,b].

81-90.
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить её график.

91-100.
Дана функция ... Показать, что ...

101-110.
Даны функция z=f(x,y) , точка A(x0;y0) и вектор a.
1) Найти grad(z) в точке А;
2) производную в точке А по направлению вектора a.

111-120.
Найти неопределённые интегралы. В двух первых примерах результат проверить дифференцированием.

121-130.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

131-134.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной...

135-137.
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ... фигуры, ограниченной кривыми...

138.
Вычислить длину полукубической параболы...

139.
Вычислить длину кардиоиды...

140.
Вычислить длину одной арки циклоиды...