Высшая математика

Министерство сельского хозяйства РФ
Санкт-Петербургский государственный аграрный университет
Кафедра высшей математики
Методические указания и контрольные задания
по курсу
Математика
для студентов-заочников 1 курса инженерных факультетов
Санкт-Петербург
2006

Стоимость выполнения контрольных работ по высшей математике уточняйте при заказе.
Стоимость одной готовой задачи уточняйте при заказе.
Готовы следующие задания по вариантам:

Вариант 0

Контрольная работа 1, таблица 1
Задача 20 Дана система линейных алгебраических уравнений. Доказать её совместимость и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) матричным методом; 3) методом Крамера.
Задача 40 Даны координаты вершин треугольника АВС. Написать: уравнение стороны АС; уравнение медианы ВЕ и высоты BD, проведённых из вершины В; уравнение средней линии EF треугольника, параллельной стороне ВС. Найти длину средней линии EF. Составить уравнение окружности, диаметром которой является сторона АВ треугольника АВС. Построить треугольник и окружность.
40. (5; 3) (1; 4) (-2; -3)
Задача 60 Даны координаты вершин треугольной пирамиды А1А2А3А4. Найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между рёбрами А1А2 и А1А3;
3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
4) площадь грани А1А3А4;
5) объём пирамиды А1А2А3А4;
6) уравнение прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1А2А3;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины пирамиды А4 на плоскость А1А2А3;
9) длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж.
60. (7; 3; 1) (5; 4; 8) (2; 4; 8) (7; -3; 4)
Задача 80 Найти каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом F(0; 7).
Задача 100 Найти пределы функций.

Контрольная работа 2, таблица 1
Задача 120 Найти производные следующих функций.
Задача 140 Вычислить приближённо значения указанных величин с помощью дифференциала соответствующей функции: (2,97)3.
Задача 160 Провести полное исследование функции y = f(x) и построить её график.
Задача 180 Пользуясь правилом Лопиталя, найти следующие пределы функций.
Задача 200 Найти радиус кривизны и координаты центра кривизны кривой y = f(x) в точке А.
Задача 220 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

Контрольная работа 3, таблица 1
Задача 240 Найти неопределённые интегралы.
Задача 260 Вычислить определённые интегралы.
Задача 280 Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задача 300 Вычислить табличное значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака.
Задача 320 Вычислить площадь S плоской фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертёж и заштриховать искомую площадь.
320. y = x2; y = x3
Задача 340 Доказать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет равенству.
Задача 360 Даны функция z = z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор а. Найти:
1) gradz в точке А;
2) производную функции z в точке А по направлению вектора а.
Задача 380 Найти экстремум функции: z = -5x2+6xy-2y2+4x-y-5.

Контрольная работа 1, таблица 2
Задача 90 Найти пределы функций.

Контрольная работа 2, таблица 2
Задача 110 Найти производные следующих функций.
Задача 130 Вычислить приближённо значения указанных величин с помощью дифференциала соответствующей функции.
Задача 150 Провести полное исследование функции и построить её график.
Задача 170 Пользуясь правилом Лопиталя, найти следующие пределы функций.
Задача 190 Найти радиус кривизны и координаты центра кривизны кривой y = sin3x в точке А.
Задача 210 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

Контрольная работа 3, таблица 2
Задача 230 Найти неопределённые интегралы.
Задача 250 Вычислить определённые интегралы.
Задача 270 Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задача 290 Вычислить табличное значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака.
Задача 310 Вычислить площадь S плоской фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертёж и заштриховать искомую площадь.
Задача 330 Доказать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет равенству.
Задача 350 Даны функция z = z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор а. Найти:
1) gradz в точке А;
2) производную функции z в точке А по направлению вектора а.
Задача 370 Найти экстремум функции: z = -9x2-4xy-y2+10x-8y+5.

Вариант 3

Контрольная работа 1, таблица 2
Задача 3 Дана система линейных алгебраических уравнений. Доказать её совместимость и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) матричным методом; 3) методом Крамера.
Задача 23 Даны координаты вершин треугольника АВС. Написать: уравнение стороны АС; уравнение медианы ВЕ и высоты BD, проведённых из вершины В; уравнение средней линии EF треугольника, параллельной стороне ВС. Найти длину средней линии EF. Составить уравнение окружности, диаметром которой является сторона АВ треугольника АВС. Построить треугольник и окружность.
23. А(2;5), В(3;3), С(-1;4)
Задача 43 Даны координаты вершин треугольной пирамиды А1А2А3А4. Найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между рёбрами А1А2 и А1А3;
3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
4) площадь грани А1А3А4;
5) объём пирамиды А1А2А3А4;
6) уравнение прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1А2А3;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины пирамиды А4 на плоскость А1А2А3;
9) длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж.
43. А1(7; 2; 4) А2(7; -1; -2) А3(3; 3; 1) А4(-4; 2; 1)
Задача 63 Прямые х=+-8 служат директрисами эллипса, малая ось которого равна 8. Найти каноническое уравнение этого эллипса.
Задача 83 Найти пределы функций.

Контрольная работа 2, таблица 2
Задача 103 Найти производные следующих функций.
Задача 123 Вычислить приближённо значения указанных величин с помощью дифференциала соответствующей функции: ln1,03.
Задача 143 Провести полное исследование функции и построить её график.
Задача 163 Пользуясь правилом Лопиталя, найти следующие пределы функций.
Задача 183 Найти радиус кривизны и координаты центра кривизны кривой в точке А.
Задача 203 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

Контрольная работа 3, таблица 2
Задача 223 Найти неопределённые интегралы.
Задача 243 Вычислить определённые интегралы.
Задача 263 Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задача 283 Вычислить табличное значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака.
Задача 303 Вычислить площадь S плоской фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертёж и заштриховать искомую площадь.
303. y = x2+2x-3, y = 9+4x-x2
Задача 323 Доказать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет равенству.
Задача 343 Даны функция z = z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор а. Найти:
1) gradz в точке А;
2) производную функции z в точке А по направлению вектора а.
343. z = ln(2xy+y2), A(1,1) a = 4i+3j
Задача 363 Найти экстремум функции: z = (x-1)2+4y2+1.

Вариант 4

Контрольная работа 1, таблица 2
Задача 4 Дана система линейных алгебраических уравнений. Доказать её совместимость и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) матричным методом; 3) методом Крамера.
Задача 24 Даны координаты вершин треугольника АВС. Написать: уравнение стороны АС; уравнение медианы ВЕ и высоты BD, проведённых из вершины В; уравнение средней линии EF треугольника, параллельной стороне ВС. Найти длину средней линии EF. Составить уравнение окружности, диаметром которой является сторона АВ треугольника АВС. Построить треугольник и окружность.
24. А(2;-3), В(1;0), С(-2;-4)
Задача 44 Даны координаты вершин треугольной пирамиды А1А2А3А4. Найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между рёбрами А1А2 и А1А3;
3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
4) площадь грани А1А3А4;
5) объём пирамиды А1А2А3А4;
6) уравнение прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1А2А3;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины пирамиды А4 на плоскость А1А2А3;
9) длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж.
44. А1(2;1;4), А2(-1;5;-2), А3(-7;-3;2), А4(-6;-3;6)
Задача 64 Составить каноническое уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом при условии, что её эксцентриситет равен.
Задача 84 Найти пределы функций.

Контрольная работа 2, таблица 2
Задача 104 Найти производные следующих функций.
Задача 124 Вычислить приближённо значение указанной величины с помощью дифференциала соответствующей функции.
Задача 144 Провести полное исследование функции y = f(x) и построить её график.
Задача 164 Пользуясь правилом Лопиталя, найти следующие пределы функций.
Задача 184 Найти радиус кривизны и координаты центра кривизны кривой y = f(x) в точке А.
Задача 204 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.

Контрольная работа 3, таблица 2
Задача 224 Найти неопределённые интегралы.
Задача 244 Вычислить определённые интегралы.
Задача 264 Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задача 284 Вычислить табличное значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака.
Задача 304 Вычислить площадь S плоской фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертёж и заштриховать искомую площадь.
304. y = 4-x2, y = x2 + 2.
Задача 324 Доказать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет равенству.
Задача 344 Даны функция z = z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор а. Найти:
1) gradz в точке А;
2) производную функции z в точке А по направлению вектора а.
z = x + y + xy2, A(1,3), a = 3i + 4j
Задача 364 Найти экстремум функции: z = (x+3)2 + (y-2)2 - 5.

Вариант 5

Контрольная работа 2, таблица 2
Задача 105 Найти производные следующих функций.
Задача 125 Вычислить приближённо значения указанных величин с помощью дифференциала соответствующей функции: (2,04)4.
Задача 145 Провести полное исследование функции и построить её график.
Задача 165 Пользуясь правилом Лопиталя, найти следующие пределы функций.
Задача 185 Найти радиус кривизны и координаты центра кривизны кривой y = 2x3 в точке A(1,2).
Задача 205 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

Контрольная работа 3, таблица 2
Задача 225 Найти неопределённые интегралы.
Задача 245 Вычислить определённые интегралы.
Задача 265 Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задача 285 Вычислить табличное значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака.
Задача 305 Вычислить площадь S плоской фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертёж и заштриховать искомую площадь.
305. y = x2-2x+1, y = 2/x, x = 1.
Задача 325 Доказать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет равенству.
Задача 345 Даны функция z = z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор а. Найти:
1) gradz в точке А;
2) производную функции z в точке А по направлению вектора а.
345. z = ln(x2 + y2), A(2,1), a = 2i + j
Задача 365 Найти экстремум функции: z = 4x2+2y2-4x+12.

Вариант 6

Контрольная работа 1, таблица 2
Задача 6 Дана система линейных алгебраических уравнений. Доказать её совместимость и решить тремя способами: 1) методом гаусса; 2) матричным методом; 3) методом Крамера.
Задача 26 Даны координаты вершин треугольника АВС. Написать: уравнение стороны АС; уравнение медианы ВЕ и высоты BD, проведённых из вершины В; уравнение средней линии EF треугольника, параллельной стороне ВС. Найти длину средней линии EF. Составить уравнение окружности, диаметром которой является сторона АВ треугольника АВС. Построить треугольник и окружность.
26. А(-1;-2), В(0;-3), С(2;1)
Задача 46 Даны координаты вершин треугольной пирамиды А1А2А3А4. Найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между рёбрами А1А2 и А1А3;
3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
4) площадь грани А1А3А4;
5) объём пирамиды А1А2А3А4;
6) уравнение прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1А2А3;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины пирамиды А4 на плоскость А1А2А3;
9) длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж.
46. А1(0; -1; -1) А2(-2; 3; 5) А3(1; -5; -9) А4(-1; -6; 3)
Задача 66 Дана гипербола. Вычислить координаты её фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот.
Задача 86 Найти пределы функций.
Контрольная работа 2, таблица 2
Задача 106 Найти производные следующих функций.
Задача 126 Вычислить приближённо значения указанных величин с помощью дифференциала соответствующей функции: tg28.
Задача 146 Провести полное исследование функции и построить её график.
Задача 166 Пользуясь правилом Лопиталя, найти следующие пределы функций.
Задача 186 Найти радиус кривизны и координаты центра кривизны кривой в точке А(1;1).
Задача 206 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: y = 2x(x-1)3, [3;5]

Контрольная работа 3, таблица 2
Задача 226 Найти неопределённые интегралы.
Задача 246 Вычислить определённые интегралы.
Задача 266 Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задача 286 Вычислить табличное значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака.
Задача 306 Вычислить площадь S плоской фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертёж и заштриховать искомую площадь.
306. y = x2-x+6, y = 6/x, x=2
Задача 326 Доказать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет равенству.
Задача 346 Даны функция z = z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор а. Найти:
1) gradz в точке А;
2) производную функции z в точке А по направлению вектора а.
346. z = arctgx2y, A(3,3) a = i+2j
Задача 366 Найти экстремум функции: z = -3x2-4y2+6x-8y+15

Вариант 7

Контрольная работа 1, таблица 2
Задача 7 Дана система линейных алгебраических уравнений. Доказать её совместимость и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) матричным методом; 3) методом Крамера.
Задача 27 Даны координаты вершин треугольника АВС. Написать: уравнение стороны АС; уравнение медианы ВЕ и высоты BD, проведённых из вершины В; уравнение средней линии EF треугольника, параллельной стороне ВС. Найти длину средней линии EF. Составить уравнение окружности, диаметром которой является сторона АВ треугольника АВС. Построить треугольник и окружность.
27. А(1;5), В(-3;0), С(-6;1)
Задача 47 Даны координаты вершин треугольной пирамиды А1А2А3А4. Найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между рёбрами А1А2 и А1А3;
3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
4) площадь грани А1А3А4;
5) объём пирамиды А1А2А3А4;
6) уравнение прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1А2А3;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины пирамиды А4 на плоскость А1А2А3;
9) длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж.
47. А1(5; 2; 0) А2(2; 5; 0) А3(1; 2; 4) А4(-1; 1; 1)
Задача 67 Найти каноническое уравнение эллипса, расстояние между фокусами которого равно 2, а расстояние между директрисами равно 10.
Задача 87 Найти пределы функций.

Контрольная работа 2, таблица 2
Задача 107 Найти производные следующих функций.
Задача 127 Вычислить приближённо значения указанных величин с помощью дифференциала соответствующей функции: arctg0,97.
Задача 147 Провести полное исследование функции и построить её график.
Задача 167 Пользуясь правилом Лопиталя, найти следующие пределы функций.
Задача 187 Найти радиус кривизны и координаты центра кривизны кривой y = 7-x2 в точке А(1;6).
Задача 207 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: y = 4xe2x, [-3; 1]

Контрольная работа 3, таблица 2
Задача 227 Найти неопределённые интегралы.
Задача 247 Вычислить определённые интегралы.
Задача 267 Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задача 287 Вычислить табличное значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака.
Задача 307 Вычислить площадь S плоской фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертёж и заштриховать искомую площадь.
307. y = x2-2x-3, y = -4x-3
Задача 327 Доказать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет равенству.
Задача 347 Даны функция z = z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор а. Найти:
1) gradz в точке А;
2) производную функции z в точке А по направлению вектора а.
347. z = xlny/x, A(1,1) a = 3i+j
Задача 367 Найти экстремум функции: z = 2x2-4xy+6y2-8x+16y+19.

Вариант 8

Контрольная работа 1, таблица 1
Задача 98 Найти пределы функций.

Контрольная работа 2, таблица 1
Задача 118 Найти производные следующих функций.
Задача 138 Вычислить приближённо значения указанных величин с помощью дифференциала соответствующей функции: tg47.
Задача 158 Провести полное исследование функции и построить её график.
Задача 178 Пользуясь правилом Лопиталя, найти следующие пределы функций.
Задача 198 Найти радиус кривизны и координаты центра кривизны кривой y = 3-x2 в точке А(2; -1).
Задача 218 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: y = 2x3-5x

Контрольная работа 3, таблица 1
Задача 238 Найти неопределённые интегралы.
Задача 258 Вычислить определённые интегралы.
Задача 278 Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задача 298 Вычислить табличное значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака.
Задача 318 Вычислить площадь S плоской фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертёж и заштриховать искомую площадь.
318. y = x2-3x, y = 4-3x
Задача 338 Доказать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет равенству.
Задача 358 Даны функция z = z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор а. Найти:
1) gradz в точке А;
2) производную функции z в точке А по направлению вектора а.
343. z = x/2y, A(1,3) a = 2i+2j
Задача 378 Найти экстремум функции: z = 10x2-6xy+y2+6x-2y+7.

Контрольная работа 1, таблица 2
Задача 8 Дана система линейных алгебраических уравнений. Доказать её совместимость и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) матричным методом; 3) методом Крамера.
Задача 28 Даны координаты вершин треугольника АВС. Написать: уравнение стороны АС; уравнение медианы ВЕ и высоты BD, проведённых из вершины В; уравнение средней линии EF треугольника, параллельной стороне ВС. Найти длину средней линии EF. Составить уравнение окружности, диаметром которой является сторона АВ треугольника АВС. Построить треугольник и окружность.
28. А(-3;-5), В(2;-2), С(1;0)
Задача 48 Даны координаты вершин треугольной пирамиды А1А2А3А4. Найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между рёбрами А1А2 и А1А3;
3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
4) площадь грани А1А3А4;
5) объём пирамиды А1А2А3А4;
6) уравнение прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1А2А3;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины пирамиды А4 на плоскость А1А2А3;
9) длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж.
48. А1(2; -1; -2) А2(1; 2; 1) А3(5; 0; -6) А4(-10; 9; -7)
Задача 68 Найти каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между её директрисами равно 6, а расстояние между фокусами равно 10.
Задача 88 Найти пределы функций.

Контрольная работа 2, таблица 2
Задача 108 Найти производные следующих функций.
Задача 128 Вычислить приближённо значения указанных величин с помощью дифференциала соответствующей функции: cos62.
Задача 148 Провести полное исследование функции и построить её график.
Задача 168 Пользуясь правилом Лопиталя, найти следующие пределы функций.
Задача 188 Найти радиус кривизны и координаты центра кривизны кривой y = x2 в точке А(1;1)).
Задача 208 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

Контрольная работа 3, таблица 2
Задача 228 Найти неопределённые интегралы.
Задача 248 Вычислить определённые интегралы.
Задача 268 Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задача 288 Вычислить табличное значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака.
Задача 308 Вычислить площадь S плоской фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертёж и заштриховать искомую площадь.
308. y = 4-x2, y = 1-2x
Задача 328 Доказать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет равенству.
Задача 348 Даны функция z = z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор а. Найти:
1) gradz в точке А;
2) производную функции z в точке А по направлению вектора а.
348. z = arcsin2xy, A(0,1) a = 3i+j
Задача 368 Найти экстремум функции: z = -x2+4xy-5y2+2x-6y-10.

Вариант 9

Контрольная работа 3, таблица 1
Задача 299 Вычислить табличное значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака.
Задача 319 Вычислить площадь S плоской фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертёж и заштриховать искомую площадь.
319. y = 1/x2, y = x, x = 2
Задача 359 Даны функция z = z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор а. Найти:
1) gradz в точке А;
2) производную функции z в точке А по направлению вектора а.
359. z = 3xy2+2xy, A(3,1) a = i+3j