Теоретическая механика

Высшая школа технологии и энергетики СПбГУПТД

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский Государственный Технологический Университет
Растительных Полимеров
Кафедра теоретической механики и ТММ
Задания по теоретической механике
для самостоятельной работы студентов
Учебно-методическое пособие
Санкт-Петербург
2007

Стоимость выполнения одной задачи из разделов статика, кинематика, динамика составляет 250 руб.
Стоимость одной готовой задачи составляет 200 руб за распечатанную копию у нас в офисе.

Динамика

Задача Д1. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил
1. Материальная точка массы m=m кг движется вдоль горизонтальной оси Ох под действием силы F = at(H). Найти скорость V и положение точки х при t1=t при нулевых начальных условиях.

2. На тело m=m, движущееся по горизонтальной гладкой поверхности, действует сила отталкивания, проекция которой на горизонтальную ось Ох равна Fx=k2mx(H).

3. Сила тяги винтов вертолета массой m при вертикальном подъеме из состояния покоя в n=n раз превышает его вес. Сопротивление воздуха пропорционально первой степени скорости R=-mkV(H). Определить скорость подъема в момент t=t, а также Vmax.

4. Лодке массой m = М(кг) сообщается начальная скорость V0=V0(м/с). При движении лодка встречает сопротивление, пропорциональное квадрату скорости R=aV2(H). Через сколько времени скорость лодки уменьшится в n=n раз?

5. Материальная точка массы m=m кг движется из начала координат вдоль горизонтальной оси Ох, имея начальную скорость V0=V0(м/с) и испытывая силу сопротивления движению R=-kx(H). Найти скорость V и положение точки х при t=t(с).

6. Тело массой m, движущееся по гладкой горизонтальной поверхности, притягивается к неподвижному центру с силой, проекция которой на горизонтальную ось Ох равна Fx=-k2mx(H). В момент времени t=0х=0 и V0=V0(м/с). Определить максимальное удаление тела от начала отсчета.

7. Груз массой m=m(кг) опускается при помощи парашюта без начальной скорости. Сила сопротивления воздуха пропорциональна первой степени скорости R=-bV(H). Определить скорость V груза через t=t(с) после начала спуска.

8. В момент выключения мотора катер массой m=М(кг) имел скорость V0. Какой путь пройдет катер с выключенным мотором до момента времени, когда его скорость уменьшится в n=n раз. Силу сопротивления считать пропорциональной квадрату скорости R=aV2(H).

9. Материальная точка массы m=m (кг) движется вдоль горизонтальной оси Ох под действием силы F=(a+bV)(H). Полагая начальные условия движения точки нулевыми, найти координату х точки в момоент времени

10. Материальная точка массой m=m (кг)двигается из состояния покоя вдоль горизонтальной оси Ох под действием силы Fx=a(b-kt)(H). Найти скорость V и координату х в момент, когда сила обратится в нуль.

11. Лодке массой m=М (кг) сообщается начальная скорость V0=V0 м/с. При движении лодка встречает сопротивление, пропорциональное первой степени скорости R=-aV(H). Определить скорость лодки в момент t=t(с).

12. Лыжник массой m = 70 кг спускается без начальной скорости по склону в α=α градусов, не отталкиваясь палками. Длина спуска L=и (м), коэффициент трения скольжения лыж о снег fтр=0,1. Сопротивление воздуха равно R=kV2(H). Какова скорость лыжника V в конце спуска?

13. Материальная точка массой m=m (кг) движется из начала координат вдоль горизонтальной оси Ох, имея начальную скорость V0=а(м/с) и испытывая действие позиционной силы F=-0.25 mk2x(H). Найти скорость V и положение х точки в момент времени t=t(с).

14. Материальная точка массы m=m (кг) движется из состояния покоя вдоль горизонтальной оси Ох под действием силы Fx=b(a-kt)(H). Найти максимальное удаление точки от начала отсчета х (м) и путь V(м/с), пройденный точкой за время t=t(с), если х0=0.

15. Тело массой m=m (кг) движется из состояния покоя вдоль горизонтальной оси Ох под действием силы F=at/V(H). Какой путь х(м) пройдет тело за время t=t(с)?

16. Самолет массой m=10 М(кг) летит горизонтально. Его скорость в данный момент V0=10V0 (м/с). Сила тяги двигателя постоянна Fтяг=4000 Н и направлена под углом α=α к горизонту; сила лобового сопротивления R=kV2(H). Какое расстояние пройдет самолет к моменту времени, когда его скорость увеличится в n=n раз?

17. Материальная точка массы m=m (кг) под действием силы F=at2-bt+2 движется вдоль оси Ох (F - в Н, t - в секундах). Определить максимальную скорость Vmax, которую достигнет точка при своем движении, если в начальный момент времени она имел нулевую скорость и находилась в начале координат.

18. Тело массой m=m (кг) совершает прямолинейное движение вдоль горизонтальной оси Ох под действием силы Fx=aπcoskt(H). Определить положение тела на оси Ох в момент времени t=t(с), если начальная скорость тела V0=V0, х0=0.

19. На материальную точку массы m=m (кг) действует периодическая сила F=bsinat(H), направленная вдоль горизонтальной оси Ох. Определить скорость V(м/С) и положение точки х м при t=t(с), если она вышла из начала координат без начальной скорости.

20. Вертикальный спуска парашютиста массой m происходит без начальной скорости с высоты h=L м при наличии силы сопротивления, пропорциональной квадрату скорости R=amV2(H). Определить скорость парашютиста в момент приземления.

21. Автомобиль массой m=m (кг)движется по горизонтальной прямолинейной дороге. Принимая силу тяги мотора постоянной и равной Q=1000(H), а суммарное сопротивление движению R=-kV2(H), определить скорость автомобиля по прошествии им пути S (м), если в начале этого пути он имел скорость, равную V0=V0(м/с).

22. Тело массой m=m (кг) начинает двигаться из состояния покоя по гладкой горизонтальной плоскости вдоль оси Ох под действием силы Fx=asinkt(H). Определить положение тела на оси Ох в момент времени t=t(с).

23. Тело массой m=m (кг), брошенное вертикально вверх со скоростью V0=V0(м/с), испытывает сопротивление среды R=-kV(H). Определить, через какое время t(с) тело достигнет наивысшего положения.

24. Для взлета самолетов с корабля применяют специальные катапульты, уменьшающие длину свободного пробега самолета. Считая, что действие катапульты эквивалентно дополнительной тяге, равной F=4.9 кН, определить, на сколько сократится длина взлетной дорожки, если масса самолета m=m (кг), тяга винта Q=14.71 кН, взлетная скорость V0=500V0 (м/с), а сопротивление воздуха равно R=-aV2(H)

25. Материальная точка массой m=m (кг) движется вдоль горизонтальной оси Ох из состояния покоя под действием силы F=10a-bt(H). В начальный момент времени точка находилась на расстоянии х0=х0 м от начала отсчета. Определить момент времени t (c), когда точка вернется в начальное положение.

26. Для измерения глубины котлована на его дно бросают без начальной скорости груз массой m, который через t=t(c) достигает дна. Какова глубина котлована? Сопротивление среды считать пропорциональным первой степени скорости R=-mkV(H).

27. Материальная точка массой m=m (кг) движется вдоль горизонтальной оси Ох из состояния покоя под действием силы F=-kx(H). В начальный момент времени точка находилась на расстоянии х0=х0м от начала отсчета. Определить скорость точки V в момент времени t=t(c)

28. Материальная точка массой m=m (кг) движется вдоль горизонтальной оси Ох из состояния покоя под действием силы Fx=b-at3(H). Найти скорость точки V(м/с) и величину х м в момент времени t=t(c)

29. Тело массой m=m (кг) поднимается по гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом а=а градусов, получив начальную скорость V0=V0(м/с). Сопротивление среды пропорционально первой скорости R=-aV(H). Через сколько времени t с тело остановится?

30. Тело массой m=m (кг), находящееся в покое, начинает движение вдоль горизонтальной оси Ох под действием силы Fx=b-ekt(H). Определить скорость тела V(м/с) и его координату х м в момент времени t=t(c)

Задача Д2. Исследование вращательного движения твердого тела
1. После выключения двигателя вентилятор, вращающийся с угловой скоростью ω0=ω(с-1), тормозится силами аэродинамического сопротивления, момент которых М1=-аω2(Нм). Определить время t(с), за которое угловая скорость вентилятора уменьшится в n раз. Момент инерции вентилятора относительно ои вращения равен I=I (кгм2)

2. После выключения двигателя вентилятор, вращающийся с угловой скоростью ω0=ω(с-1), тормозится силами аэродинамического сопротивления, момент которых М1=-аω(Нм), и силами трения в подшипниках, момент которых М1=к(Нм). Определить, через какой промежуток времени вентилятор остановится. Момент инерции вентилятора относительно оси вращения I=I (кгм2)

3. После выключения двигателя вентилятор, вращающийся с угловой скоростью ω0=ω(с-1), тормозится силами аэродинамического сопротивления, момент которых М2=аω(Нм), и силами трения в подшипниках. Момент М1=к(Нм) от трения в подшипниках можно считать постоянным. Момент инерции вентилятора относительно оси вращения I=I (кгм2). Определить, через какой промежуток времени t () вентилятор остановится.

4. К валу, находившемуся в покое, прикладывается постоянный момент М1=к(Нм). Одновременно возникают силы, момент которых М2=acos(0.1 πt)(Нм). Момент инерции вала относительно оси вращения I=I (кгм2). Определить угловую скорость вала ω1(с-1) через t=t(с) после начала вращения.

5. Твердое тело, вращающееся с угловой скоростью ω0=ω(с-1), тормозится силами сопротивления, моменты которых М1 и М2. Причем момент М1=-к(Нм) от трения в подшипниках можно считать постоянным. Тормозящий момент пропорционален угловой скорости вращения М2=аω(Нм). Момент инерции тела относительно оси вращения I=I (кгм2). Определить через какой промежуток времени t(c) тело остановится.

6. Маховик массой m=m (кг) и радиусом r=r (см) приводится во вращении из состояния покоя постоянным моментом М1=к(Нм). Маховик испытывает силы сопротивления, момент которых М2=-аω2(Нм). Маховик считать однородным диском. Определить время t(c), по истечении которого угловая маховика станет равна ω1=ω(с-1).

7. После выключения двигателя вентилятора, вращающийся с угловой скоростью ω0=ωс-1, тормозится силами аэродинамического сопротивления, момент которых М2=-аω2(Нм). Определить угол, на который повернется вентилятор, когда его угловая скорость ω0=ωс-1 уменьшится в N=N раз. Момент инерции вентилятора относительно оси вращения I=I (кгм2).

8. Маховик, находившийся в покое, приводится во вращение вокруг неподвижной оси постоянным моментом М1=к(Нм), при этом возникает момент сил сопротивления М2=-аω(Нм). Радиус инерции маховика ρ=r (м). Определить угловую скорость маховика ω(с-1) через t1=t(с) после начала вращения.

9. Маховик начинает вращаться вокруг неподвижной оси из состояния покоя, причем вращающий момент М=кφ-аφ (Нм). Момент инерции маховика I=I (кгм2). Установить закон изменения угловой скорости маховика ω=ω(φ) как функцию угла поворота φ рад. Определить значение угловой скорости ω(с-1) в тот момент, когда маховик сделает N=N оборотов.

10. К валу, находившемуся в покое, прикладывается постоянный момент М1=к(Нм). Одновременно возникают силы, момент которых М2=a cos(0.2πt)(Нм). Момент инерции вала относительно оси вращения I=I(кгм2). Определить, сколько оборотов N сделает вал через t1=t(с) после начала вращения.

11. На тормозящийся вал действует постоянный момент сил трения в подшипниках М1=к(Нм) и момент сил сопротивления, вызываемый электромагнитной муфтой и изменяющийся по закону М2=a(1-exp(-at))(Нм). Установить закон изменения угловой скорости ω0=ω(с-1), а момент инерции I=I (кгм2). Определить величину угловой скорости вала ω(с-1), соответствующую моменту времени t1=t(c).

12. Маховик, вращающийся с угловой скоростью ω0=ω(с-1), тормозится силами сопротивления, моменты которых М1 и М2. Тормозящий момент М2 пропорционален угловой скорости М2=-aω(Нм). Момент М1 от трения в подшипниках постоянен: М1=-к(Нм). Маховик считать однородным диском радиуса r=к (см) и массой m=ь(кг). Определить угловую скорость маховика ω(с-1) через t1=t(c) после начала торможения.

13. Движущийся момент электродвигателя в некоторых условиях обратно пропорционален квадрату угловой скорости М=a/ω2(Нм). Момент инерции ротора электродвигателя I=I(кгм2). Определить, через какое время угловая скорость ω(с-1) электродвигателя увеличится в N=N раз, если начальная угловая скорость ω0=ω(с-1).

14. Маховик, находившийся в покое, приводится во вращение вокруг неподвижной оси постоянным моментом М1=к(Нм), при этом возникает момент сил сопротивления М2=а/ω(Нм). Момент инерции маховика относительно оси вращения I=I (кгм2). Сколько оборотов N сделает маховик за t1=t(c) после начала вращения?

15. Маховик радиуса r=r (см) и массой m=m (кг), находившийся в покое, приводится во вращение постоянной по величине силой Р-к(Н), приложенной на его ободе. При этом возникает сила сопротивления, пропорциональная угловой скорости F=-aω(Н). Сила сопротивления приложена на расстоянии r=r (см) от оси вращения. Маховик считать однородным диском. Определить угловую скорость ω(с-1) маховика через t1=t(c) после начала вращения.

16. К ведущему валу редуктора при пуске прикладывается момент М=к(1-аω)(Нм). Момент инерции вала I=I (кгм2). Определить угол φ в радианах, на который повернется вал через t1=t(c) после пуска.

17. На тормозящий вал действует момент сил сопротивления, вызываемый электромагнитной муфтой и изменяющийся по закону М=к(1-exp(-at)) (Нм). Установить закон изменения угла поворота вала φ=φ(t) как функцию времени, если начальная угловая скорость равна ω0=ω(с-1), момент инерции вала I=I (кгм2). Определить значение угла поворота вала, соответствующие моменту времени t=t(c).

18. Маховик массой m=m (кг) и радиусом r=r (см) приводится во вращение из состояния покоя постоянным момоентом М1=к(Нм). Маховик испытывает силы сопротивления, момент которых М2=-аω2(Нм). Маховик считать однородным круглым диском. Определить угловую скорость маховика ω(с-1), когда он повернется на угол φ=N радиан.

19. Вал, вращающийся с угловой скоростью ω0=ω(с-1), начинает испытывать воздействие сил, момент которых М=к sinat (Нм). Установить закон изменения угловой скорости как фукнцию времени ω=ω(t). Определить величину угловой скорости ω(с-1) через t1=t(c) после начала воздействия сил. Момент инерции вала относительно оси вращения I=I (кгм2).

20. Маховик, находящийся в покое, приводится во вращение вокруг неподвижной оси постоянным моментом М1= const. При этом возникает тормозящий момент М2 = -аω(Нм). Маховик считать однородным диском массой m=m и радиусом r=r (см). Определить, каким должен быть момент М1(Нм), чтобы через t1=t(c) угловая скорость маховика равнялась ω1=ω(с-1).

21. Маховик радиусом r=r (см) и массой m=m(кг), вращающийся с угловой скоростью ω0=ωс-1, испытывает силы сопротивления, момент которых пропорционален угловой скорости М=-аω(Нм). Установить закон изменения угла поворота как функция угловой скорости φ=φ(ω). Определит, сколько оборотов N сделает маховик до остановки. Маховик считать однородным диском.

22. После выключения двигателя вентилятор, вращающийся с угловой скоростью, равной ω0=ω(с-1), тормозится силами аэродинамического сопротивления, момент который М2=-аω(Нм), и силами трения в подшипниках. Момент от трения в подшипниках можно считать постоянным М1=к(Нм). Момент инерции вентилятора относительно оси вращения I=I (кгм2). Определить, сколько оборотов N сделает вентилятор до остановки.

23. К шкиву в момент пуска прикладывается момент М=к(1-аω)(Нм). Шкив считать однородным кольцом радиуса r=r (см) и массой m=m (кг). Установить закон изменения угловой скорости шкива как функцию времени ω=ω(t). Определить значение угловой скорости шкива ω(с-1) через t1=t(c).

24. К однородному цилиндру массой m=m(кг) и радиусом r=r (см), вращающемуся с угловой скоростью ω0=ω(с-1), прикладывается момент М=at/ω(Нм). Определить угловую скорость цилиндра ω(с-1) через t1=t(c) после приложения момента.

25. На тело, вращающееся с угловой скоростью ω0=ω(с-1), начинается действовать тормозящий момент, модуль которого М=-аφ2(Нм). Определить, на сколько оборотов N=N повернется тело его остановки, если φ0=0, а момент инерции тела I=I (кгм2).

26. Для торможения ротора электродвигателя к нему прикладывают момент, модуль которого М=аω3(Нм). Определить, на какой угол φ=а в радианах сделает ротор за время, пока угловая скорость ω0 уменьшится в N=N раз, если ω0=ω(с-1), а момент инерции его I=I (кгм2).

27. Для ускорения вращения маховика к нему прикладывается момент М=at/ω(Нм). Определить угловую скорость маховика ω(с-1) через t1=t(c) после приложения момента, если начальная скорость ω0=ωс-1, а его момент инерции I=I (кгм2).

28. При работе дизеля движущий момент определяется выражением М=(-к+аω)(Нм). Установить закон изменения угловой скорости дизеля с течением времени ω=ω(t). Определить величину угловой скорости ω(с-1), соответствующую моменту времени t1=t(c), если начальная скорость дизеля ω0=ω(с-1). Момент инерции повижных частей дизеля I=I (кгм2).

29. Движущий момент электродвигателя в некоторых условиях обратно пропорционален квадрату угловой скорости М=а/ω2(Н*м). Момент инерции ротора электродвигателя I=I (кг*м2). Определить величину угловой скорости электродвигателя ω(с-1) через t1=t(c) после приложения движущего момента, если начальная уугловая скорость его равна ω0=ω(с-1).

30. Шкив массы m=m(кг) и радиуса r=r приводится во вращение из состояния покоя постоянным моментом М1=к(Н*м). Шкив испытывает силы сопротивления, момент которых М2=-аω2(Н*м). Шкив считать однородным кольцом. Определить угол φ в радианах, на который повернется шкив, когда его угловая скорость равной ω1=ω(с-1).

Задача Д3. Теорема об изменении количества движения механической системы в ее применении к сплошной среде
Вода входит в неподвижный канал переменного сечения, симметрично относительно горизонтальной плоскости, с скоростью V1 под углом а. Скорость воды у выхода из канала V2 и направлена под углом β. Определить модуль составляющей силы R, с которой вода действует на стенку канала.

Задача Д4. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
Для заданной механической системы определить v1=f(s1). Считать, что у блоков и катков массы распределены по наружному радиусу. Массами нитей пренебречь, предполагая их нерастяжимыми. Принять, что движение начитается из состояния покоя. В задании принять следующие обозначения: m1,m2,m3-масса тел; R и r - радиусы больших и малых окружностей; fтр=0,2 - коээффициент трения скольжения; fк=0,3 - коэфициент трения качения. Проскальзывания отсутствуют.

Задача Д5. Применение принципы Даламбера к определению реакций опор вращающегося тела
Определить реакции опор твердого тела, вращющегося равномерно вокруг неподвижной оси АВ с угловой скоростью ω. Стержни АВ, NK и DL сосредоточены точечные массы соответственно m1 и m2.

Задача Д6. Применение принципа возможных перемещений к исследованию равновесия механической системы
Определить область значений вращающего момента М или силы Р, при которых заданная механическая система находится в равновесии.

Задача Д7. Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы
Для механического систем определить линейное ускорение а1 или угловое ускорение Е2. Считать, что у блоков и катков массы распределены по наружному радиусу. Тросы и ремни считать невесомыми и нерастяжимыми; проскальзывание отсутствует. Трением качения и трением скольжения пренебречь. Дано m1, m2, m3 - масса тел; R и r - радиусы больших и малых окружностей.

Стоимость указана за одну готовую задачу в распечатанном виде