Институт биомедицинских систем и биотехнологий (ИБСиБ)

Решение задач по Теории вероятностей и математической статистике
Институт биомедицинских систем и биотехнологий
ИБСиБ СПбПУ

Готовы следующие задачи по Теории вероятностей:

В мешке 20 теннисных мячей, из них 12 новых. Наудачу извлекают 9 мячей. Какова вероятность, что среди этих девяти ровно 5 новых?

Из вазы, содержащей 12 красных и 6 розовых цветков, случайным образом составляют два букета по 9 цветков. Найти вероятность того, что в каждом букете будет по 6 красных.

5 из 33 букв разрезной азбуки извлекаются по очереди случайным образом одна за другой и выкладываются в ряд слева направо. Найти вероятность того, что получилось слово «бекас».

Допустим, что из всех леопардов в мире 20% черные (пантеры). Зоопарк заказал 7 леопардов. Какова вероятность, среди них ровно три пантеры?

Три зенитки независимо друг от друга выстрелили по самолету, вероятности их попадания – 0,6, 0,9 и 0,9. Какова вероятность ровно двух попаданий?

В темной комнате 4 вазы: в первой – 10 цветков, из них 4 – красные; во второй – 6 (4 – красные); в третьей – 8 цветков (5 – красных); в четвертой – 6 цветков (2 – красные). Некто наугад выбрал вазу и из нее наугад взял цветок. Какова вероятность, что этот цветок – красный? Если цветок оказался красным, то какова вероятность, что он из третьей вазы?

На бензоколонку заезжает в среднем 12 автомобилей в час. Какова вероятность, что с 12:00 по 12:30 на бензоколонку заедут ровно 5 автомобилей?

На станке изготавливаются болты с номинальным значением диаметра 26 мм. Отклонение X диаметра от номинала есть случайная величина, распределенная нормально с математическим ожиданием m_X=-0,01 мм и средним квадратическим отклонением σ_X=0,002 мм. Болт считается годным, если его диаметр попадает в промежуток [25,985 мм, 25,995 мм] (иначе говоря, выполняются неравенства -0,015мм≤X≤-0.005 мм. Найти процент брака.

Дана таблица распределения ДСВ

Построить полигон распределения, найти m, D, σ, Мо, F(x) и её график, P(0.5≤X≤2.5).

Дана таблица распределения ДДСВ

Найти m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

11 человек случайным образом расселяются в два 4-местных и один трехместный номера гостиницы. Какова вероятность того, что Иванов и Петров окажутся в трехместном номере?

11 футболистов случайным образом выстраиваются в шеренгу. Найти вероятность того, что Иванов и Петров окажутся рядом.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что между Ивановым и Петровым окажутся ровно два футболиста.

Подброшены шесть игральных костей. Какова вероятность, что хотя бы на двух костях выпало одинаковое число очков?

Дана плотность вероятности НСВ

Найти m, D, σ, F(x), Me, X_1/4, P(-1.5<X<0.5)

Плотность вероятности ДНСВ

f_XY (x,y)=hxy, (x,y)∈D
f_XY (x,y)=0, (x,y)∉D
Найти h, m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

В вазе 15 цветков, из них 7 красных. Наугад извлекают 6 цветков. Какова вероятность, что среди этих шести ровно два красных?

10 фруктов (6 яблок и 4 апельсина) случайным образом раскладываются поровну в два пакета. Найти вероятность того, что в каждом пакете по два апельсина.

4 из 33 букв разрезной азбуки извлекаются по очереди случайным образом одна за другой и выкладываются в ряд слева направо. Найти вероятность того, что получилось слово «шкаф».

В магазине много одинаковых с виду апельсинов, 70% из них – сочные. Некто купил восемь апельсинов. Какова вероятность, среди них ровно пять сочных?

Охотник выстрелил по утке (вероятность попадания – 30%); по гусю (40%) и по бекасу (20%). Какова вероятность, что охотник вернутся с двумя трофеями?

Апельсины размещены на трех складах: на первом 60% всех апельсинов (среди них 80% сочных); на втором 30% (из них 90% сочных); на третьем 10% (из них 70% сочных). Какова вероятность, что случайно выбранный апельсин – сочный? Если апельсин сочный, какова вероятность, что он со второго склада?

На обрывистом берегу реки в норках гнездятся ласточки, в среднем 50 гнезд на каждые 100 м берега. Какова вероятность, что на выбранном участке берега длиной 20 м расположено ровно 8 гнезд?

Параметр X детали распределен нормально с m_X=2, равным номиналу, и σ_X=0.012. Найти вероятность того, что отклонение X от номинала по модулю не превысит 1% номинала.

Дана таблица распределения ДСВ

Построить полигон распределения, найти m, D, σ, Мо, F(x) и её график, P(0.5<X<2.5).

Дана таблица распределения ДДСВ

Найти m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

20 студентов случайным образом размещаются по трем вагонам поезда, причем удалось достать 8 билетов в 1-й вагон, 7 – во 2-й и 5 – в 3-й. Какова вероятность, что Иванов и Петров окажутся в третьем вагоне?

8 разных предметов мебели случайным образом расставлены вдоль стены. Найти вероятность того, что диван и шкаф окажутся рядом.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что между шкафом и диваном окажутся ровно два предмета мебели

На первом этаже 8-этажного дома в лифт вошли 7 человек. Какова вероятность, что хотя бы на одном из семи оставшихся этажей никто из них не выйдет?

Дана плотность вероятности НСВ

Найти m, D, σ, F(x), Me, X_1/4, P(-0.5<X<1.5)

Плотность вероятности ДНСВ

f_XY (x,y)=hxy, (x,y)∈D
f_XY (x,y)=0, (x,y)∉D
Найти h, m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

В группе 30 студентов, из них 10 отличников. Наугад выбирают 8 делегатов на конференцию. Какова вероятность, что среди этих восьми ровно 3 отличника?

14 конфет (8 шоколадных и 6 мятных) случайным образом раскладываются поровну в две коробки. Найти вероятность того, что в каждой коробке будет по 4 шоколадных.

7 из 33 букв разрезной азбуки извлекаются по очереди случайным образом одна за другой и выкладываются в ряд слева направо. Найти вероятность того, что получилось слово «бульвар».

В магазине много лимонов, 30% из них толстокожие. Некто купил 5 лимонов. Какова вероятность того, что среди этих пяти ровно два – толстокожие?

В трех ящиках – по 10 мячей, причем в первом 6 новых, во втором – 7 и в третьем – 9. Для игры взяли по мячу из каждого ящика. Какова вероятность, что ровно два из них – новые?

На первой полке шкафа 8 книг, из них 3 английские; на второй – 6 книг (4 англ.); на третьей – 10 книг (5 англ.). Некто наугад выбрал полку и с нее наугад взял книгу. Какова вероятность, что она – английская? Если книга оказалась английской, то какова вероятность, что она со второй полки?

Днем по мосту через речку проходят в среднем 20 человек в час. Какова вероятность, что с 14:10 по 14:25 по мосту пройдут ровно 9 человек?

Предполагается, что предел текучести некоторого сорта стали разных плавок есть случайная величина X, распределенная нормально с математическим ожиданием m_X=32 кг/мм² и средним квадратическим отклонением σ_X=1,5 кг/мм². Найти процент плавок, для которых предел текучести отличается от номинала m_X по модулю не более, чем на 5%, от 5% до 10%, свыше 10%.

Дана таблица распределения ДСВ

Построить полигон распределения, найти m, D, σ, Мо, F(x) и её график, P(0.5≤X≤2.5).

Дана таблица распределения ДДСВ

Найти m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

10 студентов по жребию распределяют между собой 10 билетов (4 – на балет, 3 – в театр и 3 – в кино), по одному билету в руки. Какова вероятность, что Иванов и Петров пойдут на балет?

11 футболистов случайным образом выстраиваются в шеренгу. Найти вероятность того, что Иванов и Петров окажутся рядом.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что между Ивановым и Петровым окажутся ровно два человека.

Из городка выходят пять дорог. Известно, что в данный день городок покинули 5 автомобилей. Какова вероятность, что хотя бы по одной из дорог никто из них не уехал?

Дана плотность вероятности НСВ

Найти m, D, σ, F(x), Me, X_1/4, P(-2.5<X<0.5)

Плотность вероятности ДНСВ

f_XY (x,y)=hxy, (x,y)∈D
f_XY (x,y)=0, (x,y)∉D
Найти h, m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

В коробке 30 книг, из них 14 английских. Наудачу выбирают 16 книг. Какова вероятность, что среди этих 16-ти ровно 6 английских?

Вероятность того, что в каждой коробке окажется по 7 новых мячей, равна вероятности, что в первую коробку попаду 7 новых мячей из 14 и 3 старых из 6. Находим вероятность аналогично предыдущей задаче.

5 из 33 букв разрезной азбуки извлекаются по очереди случайным образом одна за другой и выкладываются в ряд слева направо. Найти вероятность того, что получилось слово «бутон».

В большой партии деталей 10% бракованных. Для проверки выбрали 9 деталей. Какова вероятность, что среди этих 9-ти ровно три бракованные?

Три зенитки независимо друг от друга выстрелили по самолету, вероятности их попадания – 0,6, 0,9 и 0,9. Какова вероятность ровно двух попаданий?

В темной комнате 4 вазы, в каждой из них по 10 цветков, причём в первой – 2 белых из 10-ти; во второй – три белых; в третьей – 4 белых; в четвёртой – 6 белых. Некто наугад выбрал вазу и из нее наугад взял цветок. Какова вероятность, что этот цветок – белый? Если цветок оказался белым, то какова вероятность, что он из третьей вазы?

В магазин заходят в среднем 20 покупателей в час. Какова вероятность, что с 11.00 по 11.15 в магазин зайдут ровно 8 покупателей?

Величина X сопротивления резистора подчиняется нормальному закону с центром m_X=8 килоом, равным номиналу. Среднее квадратическое отклонение равно σ_X=150 Ом. Определить вероятность, что у случайно взятого резистора партии сопротивление будет отличаться от номинала менее чем на 5% по модулю.

Дана таблица распределения ДСВ

Построить полигон распределения, найти m, D, σ, Мо, F(x) и её график, P(0.5≤X≤2.5).

Дана таблица распределения ДДСВ

Найти m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

11 человек случайным образом расселяются в два 4-местных и один трехместный номера гостиницы. Какова вероятность того, что Иванов и Петров окажутся в трехместном номере?

11 футболистов случайным образом выстраиваются в шеренгу. Найти вероятность того, что Иванов и Петров окажутся рядом.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что между красным и жёлтым шариками окажутся ровно два других шарика.

Нора сусликов имеет семь выходов на поверхность. Спасаясь от орла, в нору заскочили семь сусликов. Какова вероятность, что хотя бы один из входов в нору не был ими использован?

Дана плотность вероятности НСВ

Найти m, D, σ, F(x), Me, X_1/4, P(-1.5<X<0.5)

Плотность вероятности ДНСВ

f_XY (x,y)=hxy, (x,y)∈D
f_XY (x,y)=0, (x,y)∉D
Найти h, m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

В урне 15 шариков, из них 8 красных. Наугад извлекают 9 шариков. Какова вероятность, что среди этих девяти ровно пять красных?

24 автомобиля, среди которых 14 легковых, случайным образом раскладываются поровну на два парома. Найти вероятность того, что легковые автомобили также распределятся поровну.

4 из 33 букв разрезной азбуки извлекаются по очереди случайным образом одна за другой и выкладываются в ряд слева направо. Найти вероятность того, что получилось слово «шарф».

Допустим, что атака совы на мышь удачна в двух случаях из десяти. За ночь сова атаковала мышей 12 раз. Какова вероятность того, что сова поймала в эту ночь ровно трех мышей?

Охотник выстрелил по утке (вероятность попадания – 30%); по гусю (40%) и по бекасу (20%). Какова вероятность, что охотник вернется с двумя трофеями?

Апельсины размещены на трех складах: на первом 60% всех апельсинов (среди них 80% сочных); на втором 30% (из них 90% сочных); на третьем 10% (из них 70% сочных). Какова вероятность, что случайно выбранный апельсин – сочный? Если апельсин сочный, какова вероятность, что он со второго склада?

На каждые 10 км автострады приходится в среднем 2 бензоколонки. Какова вероятность, что на выбранном участке автострады длиной 25 км расположено ровно 9 бензоколонок?

Ошибка X измерительного прибора распределена нормально. Систематическая ошибка прибора отсутствует (m_X=0). Средняя квадратическая ошибка равна σ_X=8 мкм (микрометров). Найти вероятность того, что при очередном измерении ошибка превысит по модулю 8 мкм.

Дана таблица распределения ДСВ

Построить полигон распределения, найти m, D, σ, Мо, F(x) и её график, P(0.5≤X≤2.5).

Дана таблица распределения ДДСВ

Найти m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

20 студентов случайным образом размещаются по трем вагонам поезда, причем удалось достать 8 билетов в 1-й вагон, 7 – во 2-й и 5 – в 3-й. Какова вероятность, что Иванов и Петров окажутся в третьем вагоне?

Вдоль дорожки случайным образом высажены 12 деревьев разных пород. Найти вероятность того, что липа и вяз растут рядом.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что между липой и вязом растут ровно два других дерева.

Допустим, что из СПб в Выборг идут шесть электричек в день. Шесть незнакомых между собой человек приобрели по билету СПб-Выборг. Какова вероятность, что хотя бы на одну из этих шести электричек никто из этих шести человек билеты не купил?

Дана плотность вероятности НСВ

Найти m, D, σ, F(x), Me, X_1/4, P(-0.5<X<1.5)

Плотность вероятности ДНСВ

f_XY (x,y)=hxy, (x,y)∈D
f_XY (x,y)=0, (x,y)∉D
Найти h, m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

В коробке 30 конфет, из них 10 шоколадных. Наудачу извлекают 12 конфет. Какова вероятность, что среди этих 12-ти ровно 7 шоколадных?

16 шариков (10 чёрных и 6 красных) случайным образом раскладываются поровну в две урны. Найти вероятность того, что в каждой урне будет по 3 красных шарика

7 из 33 букв разрезной азбуки извлекаются по очереди случайным образом одна за другой и выкладываются в ряд слева направо. Найти вероятность того, что получилось слово «керогаз».

30% лимонов в магазине толстокожие. Некто купил 5 лимонов. Какова вероятность того, что среди них ровно три – толстокожие?

В трех ящиках – по 10 теннисных мячей, причем в первом 6 новых, во втором – 7 и в третьем – 9. Для игры взяли по мячу из каждого ящика. Какова вероятность, что ровно два из них – новые?

На первой полке шкафа 8 книг, из них 3 английских; на второй – 6 книг (4 англ;) на третьей – 10 книг (5 англ). Некто наугад выбрал полку и с неё наугад взял книгу. Какова вероятность, что она – английская? Если книга оказалась английской, то какова вероятность, что она со второй полки?

В мастерскую обращаются в среднем 2 клиента в час. Какова вероятность, что с 14:00 по 18:00 в мастерскую обратятся ровно 5 клиентов?

Измерительный прибор имеет систематическую ошибку m_x=1 В (вольт) и среднюю квадратическую ошибку σ_x=3 В. Найти вероятность того, что ошибка измерения X по абсолютной величине превзойдёт 5 В (ошибка распределена нормально).

Дана таблица распределения ДСВ

Построить полигон распределения, найти m, D, σ, Mo, F(x) и её график, P(0.5≤X≤2.5).

Дана таблица распределения ДДСВ

Найти m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

10 студентов по жребию распределяют между собой 10 билетов (4 – на балет, 3 – в театр и 3 – в кино), по одному билету в руки. Какова вероятность, что Иванов и Петров пойдут на балет?

Вдоль тротуара отмечены 9 парковочных мест, которые случайным образом заняли 9 автомобилей. Найти вероятность того, что автомобили Иванова и Петрова припаркованы рядом друг с другом.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что между автомобилями Иванова и Петрова припаркованы равно два других автомобиля.

В небольшом туристическом городке 9 ресторанов. 9 туристов независимо друг от друга выбирают ресторан для обеда. Какова вероятность, что хотя бы в один ресторан никто из этих девяти туристов не зайдёт.

Дана плотность вероятности НСВ

Найти m, D, σ, F(x), Me, P(-2.5<X<0.5)

Плотность вероятности ДНСВ

f_XY (x,y)=hxy, (x,y)∈D
f_XY (x,y)=0, (x,y)∉D
Найти h, m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации
Санкт-Петербургский торгово-экономический институт
Кафедра высшей математики
Методические указания и контрольные задания по
Теории вероятностей и математической статистике
для студентов заочной и заочной сокращенной форм обучения.
Санкт-Петербург
2002

Готовы следующие варианты:

Вариант 01

Задание 1
А) Найти вероятность того, что при бросании кости выпадет не более 4-х очков. Б) Из колоды в 52 карты вытаскивается 3 карты. Найти вероятность того, что будут вытащены тройка, семерка, туз.

Задание 11
Вероятность того, что первый магазин выполнит план по товарообороту, равна 0,8, второй – 0,6. Найти вероятность того, что план выполнил второй магазин, если известно, что из двух магазинов план выполнил один.

Задание 21
За 1час магазин посетили n покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого из них р=0,2. Пусть m число покупателей, совершивших покупку. Найдите вероятность ...
• по формуле Бернулли
• по формуле Лапласа

Задание 31
Кафе обслуживают 4 автоматические установки. Каждая из них в течение дня может выйти из строя с вероятностью р=0,3. Пусти Х – число установок, проработавших до конца дня. Составьте закон распределения случайной величины Х. Найдите M(X), D(X).

Задание 41
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(8<х<13) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...

Задание 51
На ферме произвели замеры жирности молока о различных коров и результаты представили в следующей таблице ...
По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее х , выборочную дисперсию D , выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:...;
3.Выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик;
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 25/10/2009

Вариант 02

Задание 2
а) Брошены две игральные кости. Что вероятнее: выпадение в сумме 5 или 8 очков?
б) На складе находится 15 изделий, причём 12 из них годные. Найдите вероятность того, что среди наудачу отобранных 5 изделий окажутся три годных.

Задание 12
В первой урне содержится 8 шаров, из них 6 белых; во второй урне 14 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найдите вероятность того, что взят белый шар.

Задание 22
Для освещения магазина используется электрических лампочек. Вероятность перегореть в течении года для каждой из них p=0,2. Пусть число перегоревших в течении года лампочек. Найдите вероятность.
• по формуле Бернулли при n=6, k1=2, k2=4;
• по формуле Лапласа при n=600, k1=200, k2=300.

Задание 32
Ткачиха обслуживает три станка. Вероятность того, что в течении часа станок потребует внимания ткачихи равна для первого станка – 0,3, для второго – 0,3, для третьего – 0,2. Пусть число станков, не потребовавших внимания ткачихи в течении часа. Составьте закон распределения случайной величины X. Найдите M(X), D(X).

Задание 42
Найдите c, M(x), D(x), F(x), P, если плотность распределения случайной величины имеет вид:..

Задание 52
На заводе произвели замеры времени, необходимого для сборки одного узла разными рабочими и результаты измерений представили в следующей таблице (xi - время сборки (мин.), ni - число рабочих, собирающих узел за время xi)
По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее x, выборочную дисперсию Dв, выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:
Считается, что исследуемый количественный признак является непрерывно нормально распределённой случайной величиной с неизвестными параметрами μ и σ.
3.выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик;
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 06/07/2012

Вариант 03

Задание 3 (а, б)
а) Монета брошена три раза. Найдите вероятность того, что «орёл» появится дважды.
б) Какова вероятность угадать 4 номера в «Спортлото» 5 из 36.
Задание 13
В пирамиде 6 винтовок, из которых 2 с оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95, а из обычной винтовки – 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: он стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

Задание 23
В парке посажено n молодых деревьев. Вероятность того, что дерево приживётся p=0.8. Пусть m число прижившихся деревьев. Найдите вероятность :...
• по формуле Бернулли
• по формуле Лапласа
Задание 33
Охотник стреляет по дичи до первого попадания в цель, но успевает сделать не более четырёх выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна р=0,6. Пусть X число выстрелов, произведённых охотником. Составьте закон распределения случайной величины . Найдите Х. Найдите M(X), D(X).

Задание 43
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(-2<х<4) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...
Задание 53
Лаборатория качества продукции исследовала на прочность несколько образцов кожи и результаты исследований представила в следующей таблице ( Xi - предельная нагрузка, выдерживаемая кожей (кг/мм2), n количество образцов, разрушившихся при нагрузке Xi)

По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее х , выборочную дисперсию D , выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:...;
3.Выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик;
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 25/11/2009

Вариант 04

Задание 4
а) «А» и «В» бросают по разу игральную кость. Найдите вероятность того, что у «А» выпадет большее количество очков.
б) В урне 3 белых и 7 чёрных шаров. Наудачу из урны извлечено два шара. Найти вероятность того, что вынутые шары окажутся
• белыми;
• чёрными;
• разных цветов.

Задание 14
Компания, собирающая долговременную память компьютера, получает в полтора раза больше чипов от поставщика А, чем от В. Среди изделий, поставляемых А, 5% дефектных, В – 10%. Случайно отобранное изделие оказалось дефектным. Кто более вероятный поставщик дефектного изделия?

Задание 24
В соревнованиях по рыбной ловле участвует n рыбаков. Вероятность поймать хотя бы одну рыбу для каждого из них p=0,3. Пусть число рыбаков, поймавших рыбу. Найдите вероятность.
• по формуле Бернулли при n=6, k1=3, k2=5;
• по формуле Лапласа при n=120, k1=90, k2=100.

Задание 34
Из четырёх одинаково упакованных ящиков только один содержит изделие нужного вида. Ящики вскрывают один за другим до обнаружения нужного изделия. Пусть X - число вскрытых ящиков. Составьте закон распределения случайной величины X. Найдите M(X), D(X).

Задание 44
Найдите c, M(x), D(x), F(x), P, если плотность распределения случайной величины имеет вид:..

Задание 54
При изучении потребительского спроса произведена выборка по размерам проданной мужской обуви и результаты её представлены в следующей таблице (xi - размер обуви, ni - количество проданных пар размера xi): По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее x, выборочную дисперсию Dв, выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:
Считается, что исследуемый количественный признак является непрерывно нормально распределённой случайной величиной с неизвестными параметрами μ и σ.
3.выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик.
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 08/11/2011

Вариант 05

Задание 5
А) Из колоды вытаскивается одна карта. Найти вероятность того, что будет извлечен валет или карта бубновой масти.
Б) В партии 100 изделий, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4 изделия. Найти вероятность того, что среди них нет бракованных.

Задание 15
Менеджер отдела по работе с персоналом знает, что 60% претендентов на место в компании способны выполнить данную работу. Из них входной тест способно выполнить 90%. Кроме того, статистика показывает, что 20% из некомпетентных претендентов также выполнят предложенный тест. Претендент выполнил предложенный тест. Найти вероятность того, что он способен выполнить данную работу.

Задание 25
Банк выдал кредит n предприятиям. Вероятность своевременного возвращения кредита р=0,8. Пусть m число предприятий, вернувших деньги вовремя. Найдите вероятность ...
• по формуле Бернулли
• по формуле Лапласа

Задание 35
В партии из 20 радиоприемников имеются 2 неисправных. Для проверки случайным образом выбираются 3 приемника. Пусть Х – число исправных приемников среди трех отобранных. Составьте закон распределения случайной величины Х. Найдите M(X), D(X).

Задание 45
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(5<х<10) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...

Задание 55
Данные о дневной выручке магазина представили в следующей таблице ( x дневная выручка, n количество дней с выручкой x ).
По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее х , выборочную дисперсию D , выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:...;
3.выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик;
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 26/10/2009

Вариант 06

Задание 6
А) Монета брошена 3 раза. Найти вероятность того, что «орел» появился 1 раз. Б) В группе 12 человек. Случайным образом отбирается делегация из трех человек. Найти вероятность того, что «Танечка» попадет в состав делегации.

Задание 16
В большой партии товара 5% дефективных изделий. Контролер обнаруживает дефект с вероятностью 0,9. Если дефект не обнаружен, контролер пропускает изделия в готовую продукцию. Кроме того, контролер может по ошибке забраковать изделие, не имеющее дефекта: вероятность этого равна 0,02. Найти вероятность того, что изделие, признанное забракованным, является годным.

Задание 26
Торговой сетью продано n телевизоров. Вероятность того, что телевизор выйдет из строя в течение гарантийного срока р=0,2. Пусть m число телевизоров, потребовавших гарантийного ремонта. Найдите вероятность ...
• по формуле Бернулли
• по формуле Лапласа

Задание 36
Студент записан в 4 библиотеки. Вероятность того, что в какой-то из библиотек свободна необходимая студенту книга, равна 0,4. Пусть Х – число библиотек, которое посетит студент в поисках книги. Составьте закон распределения случайной величины Х. Найдите M(X), D(X).

Задание 46
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(-6<х<-1) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...

Задание 56
Данные об отклонении размера произведенного изделия от стандартного размера представили в следующей таблице ...
По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее х , выборочную дисперсию D , выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:...;
3.Выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик;
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 17/01/2010

Вариант 07

Задание 7
а) Брошены две игральные кости. Что вероятнее: выпадение в произведении 6 или 12 очков?
б) Из цифр 0,1,3,5,7 составлено пятизначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5?

Задание 17
Среди определённой группы людей вероятность некоторой болезни 0,02. Тест, выявляющий болезнь несовершенен. На больном он даёт позитивный результат в 98 случаях из 100, и, кроме того, он даёт позитивный результат в 4 случаях из 100 на здоровом. Найдите вероятность того, что человек, на котором тест дал положительный результат, действительно болен.

Задание 27
Кость брошена n раз. Вероятность того, что при бросании кости сумма очков равна пяти составляет p=0.6. Пусть m число выпадений 5 очков. Найдите вероятность ...
• по формуле Бернулли
• по формуле Лапласа

Задание 37
Партия из 50 изделий содержит 5 бракованных. Из партии наугад взято 3 изделия. Пусть x число бракованных изделий среди трёх взятых. Составьте закон распределения случайной величины x . Найдите M(X), D(X).

Задание 47
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(0<х<7) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...

Задание 57
Данные о росте 100 случайным образом отобранных юношей представлены в следующей таблице ...

Дата выполнения: 08/09/2009

Вариант 08

Задание 8
А. Из колоды карт вытаскивается одна карта. Найдите вероятность того, что это будет валет или король.
Б. В барабане находится 100 лотерейных билетов, из которых 4 выигрышных. Найдите вероятность того, что, вытащив два билета, Вы выиграете хотя бы по одному.
Задание 18
В лотерею разыгрывается акции различных компаний: 20 высокодоходных, 30 средней доходности и 50 низкой доходности. Известно, что высокодоходные акции однозначно дают высокий доход; по акциям средней доходности можно получить с равной вероятностью высокий и средний доход; по низкодоходным акциям мо¬жно получить с равной вероятностью средний, низкий и нулевой доход. Вычислите вероятность того, что по случайно отобранной акции будет получен средний или низкий доход.

Задание 28
Контролер проверяет партию из п деталей. Вероятность того, что деталь соответствует стандарту, р=0,6. Пусть m - число стандартных деталей. Найдите вероятность...
по формуле Бернулли
по формуле Лапласа

Задание 38
Вероятность брака в данной партии деталей р=0,2. Пусть X - число бракованных изделий среди трех, выбранных их партии наугад. Составьте закон распределения случайной величины X. Найдите М(Х),D(Х).

Задание 48
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(9<х<13) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...

Задание 58
Химическая лаборатория произвела анализ 50 проб воды из Невы на содержание солей тяжелых металлов и результатьт его представила в следующей таблице (х. - содержание солей (мг/м3), п. - число проб с содержанием солей х)...

Дата выполнения: 25/05/2007

Вариант 09

Задание 9
А) В урне 22 белых, 33 красный и 44 черных шара. Найти вероятность того, что случайно отобранный шар окажется цветным.
Б) В отдаленной стране парк автомобилей неизменен, а их номера обозначаются тремя буквами. Алфавит страны насчитывает 15 букв. Найти вероятность того, что у случайно встреченной машины буквы в номере не повторяются.

Задание 19
Приборы одного наименования изготавливаются двумя разным заводам. Первый завод поставляет 2/3 приборов, поступающих на рынок, второй 1/3. Надежность приборов, изготовленных первым заводом, равна 0,9, вторым – 0,96. Какова вероятность того, что случайно отобранный прибор является надежным? Кто более вероятный поставщик надежного прибора?

Задание 29
Налоговая инспекция проверяет предприятий. По статистике вероятность неуплаты налогов предприятием оценивается как р=0,8. Пусть число предприятий, не уплативших налоги. Найдите вероятность...
• по формуле Бернулли
• по формуле Лапласа

Задание 39
Батарея состоит из 3-х орудий. Вероятность попадания из 1-го, 2-го и 3-го орудий равны, соответственно 0,6; 0,7 и 0,9. Каждое орудие стреляет по цели 1 раз. Пусть Х – число попаданий в мишень. Составьте закон распределения случайной величины Х. Найдите M(X), D(X).

Задание 49
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(-6<х<-1) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...

Задание 59
Данные о размере изделий, изготавливаемых станком-автоматом, представили в следующей таблице...
По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее х , выборочную дисперсию D , выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:...;
3.Выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик;
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 24/11/2009

Вариант 10

Задание 10
А) Монета брошена 3 раза. Найти вероятность того, что хотя бы 1 раз появится «решка».
Б) Какова вероятность угадать 3 номера «Спортлото 5 из 36»?

Задание 20
Завод собирает телевизоры из кинескопов, поставляемых тремя фирмами. Первая поставляет 20% кинескопов, вторая – 30%, третья – 50%. Статистика показывает, что надежность кинескопов (вероятность безотказной работы в течение определенного промежутка времени) составляет, соответственно, 0,8, 0,9 и 0,86.Определить вероятность того, что отказавший во время проверки кинескоп, изготовлен второй фирмой.

Задание 30
Машинистка должна напечатать n страниц текста. Вероятность того, что на странице она допустит хотя бы 1 ошибку, р=0,2. Пусть m число страниц с ошибками. Найдите вероятность...
• по формуле Бернулли
• по формуле Лапласа

Задание 40
Три баскетболиста должны произвести по одному броску мяча. Вероятности попадания мяча в корзину для 1-го, 2-го и 3-го баскетболиста равны соответственно 0,95; 0,85 и 0,7. Пусти Х – число попаданий мяча в корзину. Составьте закон распределения случайной величины Х. Найдите M(X), D(X).

Задание 50
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(5<х<11) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...

Задание 60
На сыродельном заводе взвесили 100 головок сыра одного сорта и результаты представили в следующей таблице...
По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее х , выборочную дисперсию D , выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:...;
3.Выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик;
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 23/10/2009