Высшая математика

Министерство образования Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания
для студентов-заочников
инженерно-экономических специальностей
Санкт-Петербург
1999

Задачи 1-10:
Даны вершины треугольника: A, B, C.
Найти:
1) длину стороны ВС;
2) площадь треугольника;
3) уравнение стороны ВС;
4) уравнение высоты, проведённой из вершины А;
5) длину высоты, проведённой из вершины А;
6) уравнение биссектрисы внутреннего угла В;
7) угол В в радианах с точностью до 0,01;
8) систему неравенств, определяющую треугольник АВС.
Сделать чертёж.

Задача 11:
Прямые 2x=y-1=0 и 4x-y-11=0 служат сторонами треугольника, а точка P(1;2) - точкой пересечения третьей стороны с высотой, опущенной на неё. Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертёж.

Задача 13:
Точки А(3;-1) и В(4;0) служат вершинами треугольника, а точка D(2;1) - точкой пересечения его медиан. Составьте уравнение высоты, опущенной из третьей вершины. Сделать чертёж.

Задача 15:
Прямые 5x-4y=16=0 и 4x=y-4=0 служат сторонами треугольника, а точка D(1;3) - точкой пересечения его медиан. Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертёж.

Задача 19:
Прямые x-3y+3=0 и 3x+5y+9=0 служат сторонами параллелограмма, а точка P(3;-1) - точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмма. Сделать чертёж.

Задача 26:
Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки А(4;3) втрое дальше, чем от точки В(-3;1). Сделать чертёж.

Задачи 51-60:
Даны вершины пирамиды: А1, А2, А3, А4.
Найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между рёбрами А1А2 и А1А4;
3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
4) площадь грани А1А2А3;
5) объём пирамиды;
6) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3;
7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3 и вершину А1 пирамиды.

Задачи 71-80:
Применяя метод исключения неизвестных, решить систему линейных уравнений.

Задачи 81-90:
Даны векторы а1, а2, а3, а4 и b. Показать, что векторы а1, а2, а3, а4 образуют базис четырёхмерного пространства, и найти координаты вектора b в этом базисе.

Задачи 91-100:
Дана матрица А.
Найти:
1) матрицу, обратную матрице А;
2) собственные значения и собственные векторы матрицы А.

Задачи 111-120:
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Задачи 121-130:
Дана функция y=f(x) и три значения аргумента x1, x2, x3. Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента, и построить приближённо график функции в его окрестности.

Задачи 131-140:
Найти все точки разрыва функции y=f(x), если они существуют и построить график функции.

Задачи 141-150:
Найти производные dy/dx.

Задачи 151-160:
Найти dy/dx и d^2y/dx^2 для функции, заданной параметрически.

Задачи 161-165:
На линии y=f(x) найти точку, в которой касательная к этой линии параллельна прямой Ax+By+C=0. Составить уравнение этой касательной. Сделать чертёж.

Задачи 166-170:
На линии y=f(x) найти точку, в которой касательная к этой линии перпендикулярна прямой Ax+By+C=0. Составить уравнение этой касательной. Сделать чертёж.

Задача 171:
Требуется изготовить ведро цилиндрической формы без крышки вместимостью 8 куб.ед. Найти высоту и диаметр дна ведра, при которых на его изготовление потребуется наименьшее количество материала (жести).

Задача 172:
Требуется изготовить открытую сверху коробку с квадратным дном, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, вместимостью 108 куб.ед. Найти размеры коробки, при которых на её изготовление потребуется наименьшее количество материала.

Задача 173:
По углам квадратного листа жести со стороной, равной 12, вырезаны одинаковые квадраты, и оставшиеся края листа загнуты под прямым углом так, что образовалась открытая сверху коробка. Каковы должны быть размеры вырезанных квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?

Задача 174:
Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины сечения на квадрат его высоты. Найти ширину и высоту сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметра d, чтобы её сопротивление на изгиб было наибольшим.

Задача 176:
В шар радиуса 6 вписан прямой круговой конус. Найти высоту конуса, при котором его объём является наибольшим.

Задача 179:
Прямой круговой конус описан около кругового цилиндра так, что плоскости и центры их оснований совпадают. Радиус основания цилиндра равен 4, а высота 6. Найти радиус основания и высоту конуса, при котором его объём является наименьшим.

Задачи 181-190:
Исследовать методами дифференциального исчисления функции:
а) y=f1(x),
б) y=f2(x).
На основании результатов исследования построить графики этих функций.

Задачи 201-210:
Найти частные производные функции z=f(x, y)

Задачи 221-230:
Дана функция z=f(x, y), точка A( x0,y0) и вектор a. Требуется найти в точке А:
1) grad;
2) производную по направлению вектора a.

Задачи 241-250:
Найти неопределённые интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Задачи 251-260:
Найти неопределённые интегралы.

Задачи 261-270:
Пользуясь формулой Ньютона – Лейбница, вычислить определённый интеграл.

Задача 274:
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y^2=16-8x и y^2=24x+48.

Задача 276:
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox, ограниченной линиями y=___, y=___ и x=0.

Задача 279:
Найти длину дуги линии y=1/2x^2 от x=0 до x=1.

Задачи 291-300:
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Задачи 301-310:
С помощью двойного интеграла найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями. Построить чертежи данного тела и области интегрирования.

Задачи 311-320:
Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.

Задачи 321-330:
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям.

Задачи 331-340:
Найти область сходимости ряда.

Выполнены следующие варианты: