Теория вероятностей

Решение задач по Теории вероятностей и математической статистике
Институт биомедицинских систем и биотехнологий
ИБСиБ СПбПУ

Готовы следующие задачи по Теории вероятностей:

В мешке 20 теннисных мячей, из них 12 новых. Наудачу извлекают 9 мячей. Какова вероятность, что среди этих девяти ровно 5 новых?

Из вазы, содержащей 12 красных и 6 розовых цветков, случайным образом составляют два букета по 9 цветков. Найти вероятность того, что в каждом букете будет по 6 красных.

5 из 33 букв разрезной азбуки извлекаются по очереди случайным образом одна за другой и выкладываются в ряд слева направо. Найти вероятность того, что получилось слово «бекас».

Допустим, что из всех леопардов в мире 20% черные (пантеры). Зоопарк заказал 7 леопардов. Какова вероятность, среди них ровно три пантеры?

Три зенитки независимо друг от друга выстрелили по самолету, вероятности их попадания – 0,6, 0,9 и 0,9. Какова вероятность ровно двух попаданий?

В темной комнате 4 вазы: в первой – 10 цветков, из них 4 – красные; во второй – 6 (4 – красные); в третьей – 8 цветков (5 – красных); в четвертой – 6 цветков (2 – красные). Некто наугад выбрал вазу и из нее наугад взял цветок. Какова вероятность, что этот цветок – красный? Если цветок оказался красным, то какова вероятность, что он из третьей вазы?

На бензоколонку заезжает в среднем 12 автомобилей в час. Какова вероятность, что с 12:00 по 12:30 на бензоколонку заедут ровно 5 автомобилей?

На станке изготавливаются болты с номинальным значением диаметра 26 мм. Отклонение X диаметра от номинала есть случайная величина, распределенная нормально с математическим ожиданием m_X=-0,01 мм и средним квадратическим отклонением σ_X=0,002 мм. Болт считается годным, если его диаметр попадает в промежуток [25,985 мм, 25,995 мм] (иначе говоря, выполняются неравенства -0,015мм≤X≤-0.005 мм. Найти процент брака.

Дана таблица распределения ДСВ

Построить полигон распределения, найти m, D, σ, Мо, F(x) и её график, P(0.5≤X≤2.5).

Дана таблица распределения ДДСВ

Найти m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

11 человек случайным образом расселяются в два 4-местных и один трехместный номера гостиницы. Какова вероятность того, что Иванов и Петров окажутся в трехместном номере?

11 футболистов случайным образом выстраиваются в шеренгу. Найти вероятность того, что Иванов и Петров окажутся рядом.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что между Ивановым и Петровым окажутся ровно два футболиста.

Подброшены шесть игральных костей. Какова вероятность, что хотя бы на двух костях выпало одинаковое число очков?

Дана плотность вероятности НСВ

Найти m, D, σ, F(x), Me, X_1/4, P(-1.5<X<0.5)

Плотность вероятности ДНСВ

f_XY (x,y)=hxy, (x,y)∈D
f_XY (x,y)=0, (x,y)∉D
Найти h, m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

В вазе 15 цветков, из них 7 красных. Наугад извлекают 6 цветков. Какова вероятность, что среди этих шести ровно два красных?

10 фруктов (6 яблок и 4 апельсина) случайным образом раскладываются поровну в два пакета. Найти вероятность того, что в каждом пакете по два апельсина.

4 из 33 букв разрезной азбуки извлекаются по очереди случайным образом одна за другой и выкладываются в ряд слева направо. Найти вероятность того, что получилось слово «шкаф».

В магазине много одинаковых с виду апельсинов, 70% из них – сочные. Некто купил восемь апельсинов. Какова вероятность, среди них ровно пять сочных?

Охотник выстрелил по утке (вероятность попадания – 30%); по гусю (40%) и по бекасу (20%). Какова вероятность, что охотник вернутся с двумя трофеями?

Апельсины размещены на трех складах: на первом 60% всех апельсинов (среди них 80% сочных); на втором 30% (из них 90% сочных); на третьем 10% (из них 70% сочных). Какова вероятность, что случайно выбранный апельсин – сочный? Если апельсин сочный, какова вероятность, что он со второго склада?

На обрывистом берегу реки в норках гнездятся ласточки, в среднем 50 гнезд на каждые 100 м берега. Какова вероятность, что на выбранном участке берега длиной 20 м расположено ровно 8 гнезд?

Параметр X детали распределен нормально с m_X=2, равным номиналу, и σ_X=0.012. Найти вероятность того, что отклонение X от номинала по модулю не превысит 1% номинала.

Дана таблица распределения ДСВ

Построить полигон распределения, найти m, D, σ, Мо, F(x) и её график, P(0.5<X<2.5).

Дана таблица распределения ДДСВ

Найти m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

20 студентов случайным образом размещаются по трем вагонам поезда, причем удалось достать 8 билетов в 1-й вагон, 7 – во 2-й и 5 – в 3-й. Какова вероятность, что Иванов и Петров окажутся в третьем вагоне?

8 разных предметов мебели случайным образом расставлены вдоль стены. Найти вероятность того, что диван и шкаф окажутся рядом.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что между шкафом и диваном окажутся ровно два предмета мебели

На первом этаже 8-этажного дома в лифт вошли 7 человек. Какова вероятность, что хотя бы на одном из семи оставшихся этажей никто из них не выйдет?

Дана плотность вероятности НСВ

Найти m, D, σ, F(x), Me, X_1/4, P(-0.5<X<1.5)

Плотность вероятности ДНСВ

f_XY (x,y)=hxy, (x,y)∈D
f_XY (x,y)=0, (x,y)∉D
Найти h, m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

В группе 30 студентов, из них 10 отличников. Наугад выбирают 8 делегатов на конференцию. Какова вероятность, что среди этих восьми ровно 3 отличника?

14 конфет (8 шоколадных и 6 мятных) случайным образом раскладываются поровну в две коробки. Найти вероятность того, что в каждой коробке будет по 4 шоколадных.

7 из 33 букв разрезной азбуки извлекаются по очереди случайным образом одна за другой и выкладываются в ряд слева направо. Найти вероятность того, что получилось слово «бульвар».

В магазине много лимонов, 30% из них толстокожие. Некто купил 5 лимонов. Какова вероятность того, что среди этих пяти ровно два – толстокожие?

В трех ящиках – по 10 мячей, причем в первом 6 новых, во втором – 7 и в третьем – 9. Для игры взяли по мячу из каждого ящика. Какова вероятность, что ровно два из них – новые?

На первой полке шкафа 8 книг, из них 3 английские; на второй – 6 книг (4 англ.); на третьей – 10 книг (5 англ.). Некто наугад выбрал полку и с нее наугад взял книгу. Какова вероятность, что она – английская? Если книга оказалась английской, то какова вероятность, что она со второй полки?

Днем по мосту через речку проходят в среднем 20 человек в час. Какова вероятность, что с 14:10 по 14:25 по мосту пройдут ровно 9 человек?

Предполагается, что предел текучести некоторого сорта стали разных плавок есть случайная величина X, распределенная нормально с математическим ожиданием m_X=32 кг/мм² и средним квадратическим отклонением σ_X=1,5 кг/мм². Найти процент плавок, для которых предел текучести отличается от номинала m_X по модулю не более, чем на 5%, от 5% до 10%, свыше 10%.

Дана таблица распределения ДСВ

Построить полигон распределения, найти m, D, σ, Мо, F(x) и её график, P(0.5≤X≤2.5).

Дана таблица распределения ДДСВ

Найти m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

10 студентов по жребию распределяют между собой 10 билетов (4 – на балет, 3 – в театр и 3 – в кино), по одному билету в руки. Какова вероятность, что Иванов и Петров пойдут на балет?

11 футболистов случайным образом выстраиваются в шеренгу. Найти вероятность того, что Иванов и Петров окажутся рядом.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что между Ивановым и Петровым окажутся ровно два человека.

Из городка выходят пять дорог. Известно, что в данный день городок покинули 5 автомобилей. Какова вероятность, что хотя бы по одной из дорог никто из них не уехал?

Дана плотность вероятности НСВ

Найти m, D, σ, F(x), Me, X_1/4, P(-2.5<X<0.5)

Плотность вероятности ДНСВ

f_XY (x,y)=hxy, (x,y)∈D
f_XY (x,y)=0, (x,y)∉D
Найти h, m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

В коробке 30 книг, из них 14 английских. Наудачу выбирают 16 книг. Какова вероятность, что среди этих 16-ти ровно 6 английских?

Вероятность того, что в каждой коробке окажется по 7 новых мячей, равна вероятности, что в первую коробку попаду 7 новых мячей из 14 и 3 старых из 6. Находим вероятность аналогично предыдущей задаче.

5 из 33 букв разрезной азбуки извлекаются по очереди случайным образом одна за другой и выкладываются в ряд слева направо. Найти вероятность того, что получилось слово «бутон».

В большой партии деталей 10% бракованных. Для проверки выбрали 9 деталей. Какова вероятность, что среди этих 9-ти ровно три бракованные?

Три зенитки независимо друг от друга выстрелили по самолету, вероятности их попадания – 0,6, 0,9 и 0,9. Какова вероятность ровно двух попаданий?

В темной комнате 4 вазы, в каждой из них по 10 цветков, причём в первой – 2 белых из 10-ти; во второй – три белых; в третьей – 4 белых; в четвёртой – 6 белых. Некто наугад выбрал вазу и из нее наугад взял цветок. Какова вероятность, что этот цветок – белый? Если цветок оказался белым, то какова вероятность, что он из третьей вазы?

В магазин заходят в среднем 20 покупателей в час. Какова вероятность, что с 11.00 по 11.15 в магазин зайдут ровно 8 покупателей?

Величина X сопротивления резистора подчиняется нормальному закону с центром m_X=8 килоом, равным номиналу. Среднее квадратическое отклонение равно σ_X=150 Ом. Определить вероятность, что у случайно взятого резистора партии сопротивление будет отличаться от номинала менее чем на 5% по модулю.

Дана таблица распределения ДСВ

Построить полигон распределения, найти m, D, σ, Мо, F(x) и её график, P(0.5≤X≤2.5).

Дана таблица распределения ДДСВ

Найти m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

11 человек случайным образом расселяются в два 4-местных и один трехместный номера гостиницы. Какова вероятность того, что Иванов и Петров окажутся в трехместном номере?

11 футболистов случайным образом выстраиваются в шеренгу. Найти вероятность того, что Иванов и Петров окажутся рядом.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что между красным и жёлтым шариками окажутся ровно два других шарика.

Нора сусликов имеет семь выходов на поверхность. Спасаясь от орла, в нору заскочили семь сусликов. Какова вероятность, что хотя бы один из входов в нору не был ими использован?

Дана плотность вероятности НСВ

Найти m, D, σ, F(x), Me, X_1/4, P(-1.5<X<0.5)

Плотность вероятности ДНСВ

f_XY (x,y)=hxy, (x,y)∈D
f_XY (x,y)=0, (x,y)∉D
Найти h, m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

В урне 15 шариков, из них 8 красных. Наугад извлекают 9 шариков. Какова вероятность, что среди этих девяти ровно пять красных?

24 автомобиля, среди которых 14 легковых, случайным образом раскладываются поровну на два парома. Найти вероятность того, что легковые автомобили также распределятся поровну.

4 из 33 букв разрезной азбуки извлекаются по очереди случайным образом одна за другой и выкладываются в ряд слева направо. Найти вероятность того, что получилось слово «шарф».

Допустим, что атака совы на мышь удачна в двух случаях из десяти. За ночь сова атаковала мышей 12 раз. Какова вероятность того, что сова поймала в эту ночь ровно трех мышей?

Охотник выстрелил по утке (вероятность попадания – 30%); по гусю (40%) и по бекасу (20%). Какова вероятность, что охотник вернется с двумя трофеями?

Апельсины размещены на трех складах: на первом 60% всех апельсинов (среди них 80% сочных); на втором 30% (из них 90% сочных); на третьем 10% (из них 70% сочных). Какова вероятность, что случайно выбранный апельсин – сочный? Если апельсин сочный, какова вероятность, что он со второго склада?

На каждые 10 км автострады приходится в среднем 2 бензоколонки. Какова вероятность, что на выбранном участке автострады длиной 25 км расположено ровно 9 бензоколонок?

Ошибка X измерительного прибора распределена нормально. Систематическая ошибка прибора отсутствует (m_X=0). Средняя квадратическая ошибка равна σ_X=8 мкм (микрометров). Найти вероятность того, что при очередном измерении ошибка превысит по модулю 8 мкм.

Дана таблица распределения ДСВ

Построить полигон распределения, найти m, D, σ, Мо, F(x) и её график, P(0.5≤X≤2.5).

Дана таблица распределения ДДСВ

Найти m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

20 студентов случайным образом размещаются по трем вагонам поезда, причем удалось достать 8 билетов в 1-й вагон, 7 – во 2-й и 5 – в 3-й. Какова вероятность, что Иванов и Петров окажутся в третьем вагоне?

Вдоль дорожки случайным образом высажены 12 деревьев разных пород. Найти вероятность того, что липа и вяз растут рядом.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что между липой и вязом растут ровно два других дерева.

Допустим, что из СПб в Выборг идут шесть электричек в день. Шесть незнакомых между собой человек приобрели по билету СПб-Выборг. Какова вероятность, что хотя бы на одну из этих шести электричек никто из этих шести человек билеты не купил?

Дана плотность вероятности НСВ

Найти m, D, σ, F(x), Me, X_1/4, P(-0.5<X<1.5)

Плотность вероятности ДНСВ

f_XY (x,y)=hxy, (x,y)∈D
f_XY (x,y)=0, (x,y)∉D
Найти h, m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

В коробке 30 конфет, из них 10 шоколадных. Наудачу извлекают 12 конфет. Какова вероятность, что среди этих 12-ти ровно 7 шоколадных?

16 шариков (10 чёрных и 6 красных) случайным образом раскладываются поровну в две урны. Найти вероятность того, что в каждой урне будет по 3 красных шарика

7 из 33 букв разрезной азбуки извлекаются по очереди случайным образом одна за другой и выкладываются в ряд слева направо. Найти вероятность того, что получилось слово «керогаз».

30% лимонов в магазине толстокожие. Некто купил 5 лимонов. Какова вероятность того, что среди них ровно три – толстокожие?

В трех ящиках – по 10 теннисных мячей, причем в первом 6 новых, во втором – 7 и в третьем – 9. Для игры взяли по мячу из каждого ящика. Какова вероятность, что ровно два из них – новые?

На первой полке шкафа 8 книг, из них 3 английских; на второй – 6 книг (4 англ;) на третьей – 10 книг (5 англ). Некто наугад выбрал полку и с неё наугад взял книгу. Какова вероятность, что она – английская? Если книга оказалась английской, то какова вероятность, что она со второй полки?

В мастерскую обращаются в среднем 2 клиента в час. Какова вероятность, что с 14:00 по 18:00 в мастерскую обратятся ровно 5 клиентов?

Измерительный прибор имеет систематическую ошибку m_x=1 В (вольт) и среднюю квадратическую ошибку σ_x=3 В. Найти вероятность того, что ошибка измерения X по абсолютной величине превзойдёт 5 В (ошибка распределена нормально).

Дана таблица распределения ДСВ

Построить полигон распределения, найти m, D, σ, Mo, F(x) и её график, P(0.5≤X≤2.5).

Дана таблица распределения ДДСВ

Найти m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.

10 студентов по жребию распределяют между собой 10 билетов (4 – на балет, 3 – в театр и 3 – в кино), по одному билету в руки. Какова вероятность, что Иванов и Петров пойдут на балет?

Вдоль тротуара отмечены 9 парковочных мест, которые случайным образом заняли 9 автомобилей. Найти вероятность того, что автомобили Иванова и Петрова припаркованы рядом друг с другом.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что между автомобилями Иванова и Петрова припаркованы равно два других автомобиля.

В небольшом туристическом городке 9 ресторанов. 9 туристов независимо друг от друга выбирают ресторан для обеда. Какова вероятность, что хотя бы в один ресторан никто из этих девяти туристов не зайдёт.

Дана плотность вероятности НСВ

Найти m, D, σ, F(x), Me, P(-2.5<X<0.5)

Плотность вероятности ДНСВ

f_XY (x,y)=hxy, (x,y)∈D
f_XY (x,y)=0, (x,y)∉D
Найти h, m_X, m_Y, D_X, D_Y, σ_X, σ_Y, K_XY, ρ_XY, центр распределения, ковариационную и корреляционную матрицы.