Высшая математика

Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна

Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
Санкт-Петербургский государственный университет
промышленных технологии и дизайна
Кафедра математики
МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания 7 и 8
для студентов заочной формы обучения
Направления подготовки:
15.03.02 – Технологические машины и оборудование
15.03.04 – Автоматизация технологических процессов и производств
Составитель:
Г. П. Мещерякова
Санкт-Петербург
2018

Стоимость выполнения контрольной работы по высшей математике уточняйте при заказе.

Контрольная работа 7

1. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей
1.1. Из слова «наугад» выбирается случайно одна буква. Какова вероятность, что эта буква «а»? Какова вероятность того, что это гласная?
1.2. Брошены 3 монеты. Найти вероятность того, что выпадут два герба?
1.3. Брошены два игральных кубика. Какова вероятность, что в сумме выпадет 6 очков?
1.4. Человек забыл последнюю цифру почтового индекса. Какова вероятность того, что, написав ее наугад, он получит верный индекс?
1.5. Вероятность выигрыша на один билет 0,13. Какова вероятность хотя бы одного выигрыша для владельца пяти билетов?
1.6. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно?
1.7. Одновременно подбрасывают монету и игральную кость. Если на монете выпал герб, то выигрыш составляет 0 очков, а если решка - 2 очка. Эти очки суммируются с очками на кубике. Найти вероятность того, что суммарный выигрыш на к ости и монете составит четыре очка.
1.8. Вероятность того, что можно выбить 10 очков на данной дистанции для данного стрелка при одном выстреле, равна 0,1, девять очков – 0,3.
Какова вероятность того, что при трех выстрелах будет выбито более 27 очков?
1.9. Вероятность того, что деталь изготовленная на первом станке будет первосортной равна 0,7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, а на втором – три. Найти вероятность того, что все детали первосортные.
1.10. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность выхода из строя за смену для них, соответственно, равна 0,75; 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что за смену выйдут из строя точно два станка.

2. Формула полной вероятности. Формула Байеса
2.1. В студенческом стройотряде 2 бригады первокурсников и одна – второкурсников. В каждой бригаде первокурсников 5 юношей и 3 девушки, а в бригаде второкурсников 4 юношей и 4 девушки. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город. Какова вероятность того, что выбран юноша?
2.1. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по шоссе, как 3 : 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
2.2. На 3 дочерей – Алису, Марину и Елену – в семье возложены обязанность мыть посуду. Поскольку Алиса старшая, ей приходится выполнять 40 % всей работы. Остальные 60 % работы Марина и Елена делят поровну. Когда Алиса моет посуду, вероятность для нее разбить, по крайней мере, одну тарелку равна 0,02. Для Марины и Елены эта вероятность равна соответственно 0,03 и 0,04. Родители не знают, кто мыл посуду вечером, но они слышали звон разбитой тарелки. Какова вероятность того, что посуду мыла Алиса?
2.3. Известно, что 96 % выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определите вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.
2.4. Из 5 стрелков 2 попадают в цель с вероятностью 0,6 и 3 – с вероятностью 0,4. Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее: принадлежит он к первым двум или к трем последним?
2.5. На склад поступает 60 % продукции с первого участка и 40 % со второго, причем с первого – 80 % изделий первого сорта, а со второго – 75 %. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие изготовлено на втором участке, если оно первого сорта.
2.6. Для контроля продукции, состоящей из пяти партий, отобрано наудачу одно изделие. Какова вероятность обнаружить брак, если в одной из партий деталей браковано, а в остальных четырех все годные.
2.7. Узел состоит из двух независимо работающих деталей, исправность каждой необходима для работы узла. Первая из деталей за рассматриваемый промежуток времени остается годной с вероятностью 0,8, а вторая – 0,9. Узел вышел из строя. Какова вероятность того, что это произошло из-за неисправности лишь второй детали?
2.8. Студент сдает зачет, причем получает один вопрос из трех разделов. Первые два раздела одинаковы по объему, а третий в два раза больше первого. Студент знает ответы на 70 % вопросов первого раздела, на 50 % вопросов второго и на 80 % вопросов третьего. Студент зачет сдал. Найти вероятность того, что ему попался вопрос из второго раздела.
2.9. Имеются 2 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую 2 шара, а затем из второй урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый?

3. Дискретные случайные величины
3.1. Производится 3 независимых опыта, причем вероятность успеха в каждом опыте равна р = 0,4. Случайная величина X – число успехов в опытах. Составьте закон распределения X. Найдите математическое ожидание и дисперсию величины X.
3.2. Производится 4 независимых опыта, в каждом из которых успех появляется с вероятностью р=0,8. Найдите закон распределения случайной величины X, равной числу неудач в 4 опытах. Найдите M(X) и D(X).
3.3. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 71. Случайная величина X – число выигрышных билетов среди 4 купленных. Составить закон распределения случайной величины X. Найдите M(X) и D(X).
3.4. На автобазе имеется 3 автомашины. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найдите закон распределения числа автомашин на линии. Найдите математическое ожидание и дисперсию.
3.5. 4 станка работают независимо друг от друга, причем вероятность бесперебойной работы каждого из них в течение смены равна 0,8. Случайная величина X – число станков вышедших из строя. Составить закон распределения X. Найдите M(X) и D(X).
3.6. В магазин зашли 5 покупателей. Вероятность того, что им потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа покупателей, которым понадобится обувь этого размера.
3.7. Прибор состоит из 4 элементов. Вероятность отказа каждого элемента 0,85. Случайная величина X – число отказавших элементов. Составьте закон распределения X. Найдите математическое ожидание и дисперсию величины X.
3.8. По данным технического контроля 2 % изготовленных станков нуждаются в дополнительной регулировке. Случайная величина X – число станков, нуждающихся в дополнительной регулировке. Составьте закон распределения X. Найдите M(X) и D(X), если было изготовлено 4 станка.
3.9. Вероятность получения положительного результата в каждом из независимых опытов равна 0,9. Найдите закон распределения случайной величины X, равной числу положительных результатов в 4 опытах. Найдите M(X) и D(X).
3.10. Рабочий обслуживает 3 станка одного типа. Вероятность того, что станок потребует внимание рабочего равна 3/1. Составить закон распределения числа станков, потребующих внимания рабочего. Найдите математическое ожидание и дисперсию.

4. Нормальный закон распределения
4.1. Если отклонение размера изделия от номинала менее 0,345, оно относится к высшему сорту. Систематические отклонения исключены, а случайные отклонения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 0,3 мм и математическим ожиданием равным нулю. Какова вероятность того, что изделие относится к высшему сорту?
4.2. Рост взрослых женщин в одной группе является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием 164 см и дисперсией 30,25 см². Найти вероятность того, что случайно выбранная женщина имеет рост не ниже 160 см.
4.3. Определить среднее квадратическое отклонение случайной ошибки прибора, если ошибка подчиняется нормальному закону распределения с математическим отклонением, равным нулю, и вероятность того, что ошибка лежит в пределах ± 20 м равна 0,8. (Указание. 0,8 =2 φ( ε/σ). Зная Ф, по таблице найти ε/σ).
4.4. Номинальные размеры детали 20х30 мм. Фактические размеры отклоняются от номинальных, причем отклонения по ширине и длине детали – нормальные независимые случайные величины со средними квадратическими отклонениями 1 и 2 мм. Деталь стандартна, если ширин а лежит в пределах от 18 до 21 мм, а длина в пределах от 27 до 34 мм. Найти вероятность того, что случайно взятая деталь стандартна.
4.5. Время, необходимое на ремонт прибора, подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием 3 ч и средним квадратическим отклонением 0,5 ч. Какова вероятность того, что на ремонт прибора потребуется не более четырех часов?
4.6. Длина заготовки подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием 10 см и дисперсией 0,25 см². Из заготовки можно изготовить деталь, если ее длина не меньше 8,5 см. Какова вероятность того, что из заготовки можно изготовить деталь?
4.7. Случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 13,5 и средним квадратическим отклонением 1. Найти вероятность того, что в результате испытания значение Х отклониться от математического ожидания менее чем на 0,5.
4.8. Случайная ошибка прибора имеет нормальный закон распределения со средним значением, равным нулю, и средним квадратически м отклонением, равным 1. Найти вероятность того, что ошибка измерения будет находиться в пределах (-1,5; +2).
4.9. Время, необходимое для ремонта прибора, – случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с математически ожиданием 3 ч и дисперсией 0,25 ч² . Какова вероятность того, что за 8-и часовую смену прибор удастся отремонтировать.
4.10. Прочность пряжи распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 60 и средним квадратическим отклонением 5,8. Пряжа стандартна по прочности, если прочность не меньше 43. Найти вероятность того, что данная партия стандартна.