Теория вероятностей

Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации
Санкт-Петербургский торгово-экономический институт
Кафедра высшей математики
Методические указания и контрольные задания по
Теории вероятностей и математической статистике
для студентов заочной и заочной сокращенной форм обучения.
Санкт-Петербург
2002

Готовы следующие варианты:

Вариант 01

Задание 1
А) Найти вероятность того, что при бросании кости выпадет не более 4-х очков. Б) Из колоды в 52 карты вытаскивается 3 карты. Найти вероятность того, что будут вытащены тройка, семерка, туз.

Задание 11
Вероятность того, что первый магазин выполнит план по товарообороту, равна 0,8, второй – 0,6. Найти вероятность того, что план выполнил второй магазин, если известно, что из двух магазинов план выполнил один.

Задание 21
За 1час магазин посетили n покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого из них р=0,2. Пусть m число покупателей, совершивших покупку. Найдите вероятность ...
• по формуле Бернулли
• по формуле Лапласа

Задание 31
Кафе обслуживают 4 автоматические установки. Каждая из них в течение дня может выйти из строя с вероятностью р=0,3. Пусти Х – число установок, проработавших до конца дня. Составьте закон распределения случайной величины Х. Найдите M(X), D(X).

Задание 41
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(8<х<13) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...

Задание 51
На ферме произвели замеры жирности молока о различных коров и результаты представили в следующей таблице ...
По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее х , выборочную дисперсию D , выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:...;
3.Выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик;
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 25/10/2009

Вариант 02

Задание 2
а) Брошены две игральные кости. Что вероятнее: выпадение в сумме 5 или 8 очков?
б) На складе находится 15 изделий, причём 12 из них годные. Найдите вероятность того, что среди наудачу отобранных 5 изделий окажутся три годных.

Задание 12
В первой урне содержится 8 шаров, из них 6 белых; во второй урне 14 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найдите вероятность того, что взят белый шар.

Задание 22
Для освещения магазина используется электрических лампочек. Вероятность перегореть в течении года для каждой из них p=0,2. Пусть число перегоревших в течении года лампочек. Найдите вероятность.
• по формуле Бернулли при n=6, k1=2, k2=4;
• по формуле Лапласа при n=600, k1=200, k2=300.

Задание 32
Ткачиха обслуживает три станка. Вероятность того, что в течении часа станок потребует внимания ткачихи равна для первого станка – 0,3, для второго – 0,3, для третьего – 0,2. Пусть число станков, не потребовавших внимания ткачихи в течении часа. Составьте закон распределения случайной величины X. Найдите M(X), D(X).

Задание 42
Найдите c, M(x), D(x), F(x), P, если плотность распределения случайной величины имеет вид:..

Задание 52
На заводе произвели замеры времени, необходимого для сборки одного узла разными рабочими и результаты измерений представили в следующей таблице (xi - время сборки (мин.), ni - число рабочих, собирающих узел за время xi)
По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее x, выборочную дисперсию Dв, выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:
Считается, что исследуемый количественный признак является непрерывно нормально распределённой случайной величиной с неизвестными параметрами μ и σ.
3.выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик;
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 06/07/2012

Вариант 03

Задание 3 (а, б)
а) Монета брошена три раза. Найдите вероятность того, что «орёл» появится дважды.
б) Какова вероятность угадать 4 номера в «Спортлото» 5 из 36.
Задание 13
В пирамиде 6 винтовок, из которых 2 с оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95, а из обычной винтовки – 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: он стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

Задание 23
В парке посажено n молодых деревьев. Вероятность того, что дерево приживётся p=0.8. Пусть m число прижившихся деревьев. Найдите вероятность :...
• по формуле Бернулли
• по формуле Лапласа
Задание 33
Охотник стреляет по дичи до первого попадания в цель, но успевает сделать не более четырёх выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна р=0,6. Пусть X число выстрелов, произведённых охотником. Составьте закон распределения случайной величины . Найдите Х. Найдите M(X), D(X).

Задание 43
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(-2<х<4) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...
Задание 53
Лаборатория качества продукции исследовала на прочность несколько образцов кожи и результаты исследований представила в следующей таблице ( Xi - предельная нагрузка, выдерживаемая кожей (кг/мм2), n количество образцов, разрушившихся при нагрузке Xi)

По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее х , выборочную дисперсию D , выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:...;
3.Выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик;
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 25/11/2009

Вариант 04

Задание 4
а) «А» и «В» бросают по разу игральную кость. Найдите вероятность того, что у «А» выпадет большее количество очков.
б) В урне 3 белых и 7 чёрных шаров. Наудачу из урны извлечено два шара. Найти вероятность того, что вынутые шары окажутся
• белыми;
• чёрными;
• разных цветов.

Задание 14
Компания, собирающая долговременную память компьютера, получает в полтора раза больше чипов от поставщика А, чем от В. Среди изделий, поставляемых А, 5% дефектных, В – 10%. Случайно отобранное изделие оказалось дефектным. Кто более вероятный поставщик дефектного изделия?

Задание 24
В соревнованиях по рыбной ловле участвует n рыбаков. Вероятность поймать хотя бы одну рыбу для каждого из них p=0,3. Пусть число рыбаков, поймавших рыбу. Найдите вероятность.
• по формуле Бернулли при n=6, k1=3, k2=5;
• по формуле Лапласа при n=120, k1=90, k2=100.

Задание 34
Из четырёх одинаково упакованных ящиков только один содержит изделие нужного вида. Ящики вскрывают один за другим до обнаружения нужного изделия. Пусть X - число вскрытых ящиков. Составьте закон распределения случайной величины X. Найдите M(X), D(X).

Задание 44
Найдите c, M(x), D(x), F(x), P, если плотность распределения случайной величины имеет вид:..

Задание 54
При изучении потребительского спроса произведена выборка по размерам проданной мужской обуви и результаты её представлены в следующей таблице (xi - размер обуви, ni - количество проданных пар размера xi): По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее x, выборочную дисперсию Dв, выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:
Считается, что исследуемый количественный признак является непрерывно нормально распределённой случайной величиной с неизвестными параметрами μ и σ.
3.выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик.
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 08/11/2011

Вариант 05

Задание 5
А) Из колоды вытаскивается одна карта. Найти вероятность того, что будет извлечен валет или карта бубновой масти.
Б) В партии 100 изделий, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4 изделия. Найти вероятность того, что среди них нет бракованных.

Задание 15
Менеджер отдела по работе с персоналом знает, что 60% претендентов на место в компании способны выполнить данную работу. Из них входной тест способно выполнить 90%. Кроме того, статистика показывает, что 20% из некомпетентных претендентов также выполнят предложенный тест. Претендент выполнил предложенный тест. Найти вероятность того, что он способен выполнить данную работу.

Задание 25
Банк выдал кредит n предприятиям. Вероятность своевременного возвращения кредита р=0,8. Пусть m число предприятий, вернувших деньги вовремя. Найдите вероятность ...
• по формуле Бернулли
• по формуле Лапласа

Задание 35
В партии из 20 радиоприемников имеются 2 неисправных. Для проверки случайным образом выбираются 3 приемника. Пусть Х – число исправных приемников среди трех отобранных. Составьте закон распределения случайной величины Х. Найдите M(X), D(X).

Задание 45
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(5<х<10) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...

Задание 55
Данные о дневной выручке магазина представили в следующей таблице ( x дневная выручка, n количество дней с выручкой x ).
По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее х , выборочную дисперсию D , выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:...;
3.выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик;
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 26/10/2009

Вариант 06

Задание 6
А) Монета брошена 3 раза. Найти вероятность того, что «орел» появился 1 раз. Б) В группе 12 человек. Случайным образом отбирается делегация из трех человек. Найти вероятность того, что «Танечка» попадет в состав делегации.

Задание 16
В большой партии товара 5% дефективных изделий. Контролер обнаруживает дефект с вероятностью 0,9. Если дефект не обнаружен, контролер пропускает изделия в готовую продукцию. Кроме того, контролер может по ошибке забраковать изделие, не имеющее дефекта: вероятность этого равна 0,02. Найти вероятность того, что изделие, признанное забракованным, является годным.

Задание 26
Торговой сетью продано n телевизоров. Вероятность того, что телевизор выйдет из строя в течение гарантийного срока р=0,2. Пусть m число телевизоров, потребовавших гарантийного ремонта. Найдите вероятность ...
• по формуле Бернулли
• по формуле Лапласа

Задание 36
Студент записан в 4 библиотеки. Вероятность того, что в какой-то из библиотек свободна необходимая студенту книга, равна 0,4. Пусть Х – число библиотек, которое посетит студент в поисках книги. Составьте закон распределения случайной величины Х. Найдите M(X), D(X).

Задание 46
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(-6<х<-1) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...

Задание 56
Данные об отклонении размера произведенного изделия от стандартного размера представили в следующей таблице ...
По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее х , выборочную дисперсию D , выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:...;
3.Выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик;
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 17/01/2010

Вариант 07

Задание 7
а) Брошены две игральные кости. Что вероятнее: выпадение в произведении 6 или 12 очков?
б) Из цифр 0,1,3,5,7 составлено пятизначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5?

Задание 17
Среди определённой группы людей вероятность некоторой болезни 0,02. Тест, выявляющий болезнь несовершенен. На больном он даёт позитивный результат в 98 случаях из 100, и, кроме того, он даёт позитивный результат в 4 случаях из 100 на здоровом. Найдите вероятность того, что человек, на котором тест дал положительный результат, действительно болен.

Задание 27
Кость брошена n раз. Вероятность того, что при бросании кости сумма очков равна пяти составляет p=0.6. Пусть m число выпадений 5 очков. Найдите вероятность ...
• по формуле Бернулли
• по формуле Лапласа

Задание 37
Партия из 50 изделий содержит 5 бракованных. Из партии наугад взято 3 изделия. Пусть x число бракованных изделий среди трёх взятых. Составьте закон распределения случайной величины x . Найдите M(X), D(X).

Задание 47
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(0<х<7) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...

Задание 57
Данные о росте 100 случайным образом отобранных юношей представлены в следующей таблице ...

Дата выполнения: 08/09/2009

Вариант 08

Задание 8
А. Из колоды карт вытаскивается одна карта. Найдите вероятность того, что это будет валет или король.
Б. В барабане находится 100 лотерейных билетов, из которых 4 выигрышных. Найдите вероятность того, что, вытащив два билета, Вы выиграете хотя бы по одному.
Задание 18
В лотерею разыгрывается акции различных компаний: 20 высокодоходных, 30 средней доходности и 50 низкой доходности. Известно, что высокодоходные акции однозначно дают высокий доход; по акциям средней доходности можно получить с равной вероятностью высокий и средний доход; по низкодоходным акциям мо¬жно получить с равной вероятностью средний, низкий и нулевой доход. Вычислите вероятность того, что по случайно отобранной акции будет получен средний или низкий доход.

Задание 28
Контролер проверяет партию из п деталей. Вероятность того, что деталь соответствует стандарту, р=0,6. Пусть m - число стандартных деталей. Найдите вероятность...
по формуле Бернулли
по формуле Лапласа

Задание 38
Вероятность брака в данной партии деталей р=0,2. Пусть X - число бракованных изделий среди трех, выбранных их партии наугад. Составьте закон распределения случайной величины X. Найдите М(Х),D(Х).

Задание 48
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(9<х<13) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...

Задание 58
Химическая лаборатория произвела анализ 50 проб воды из Невы на содержание солей тяжелых металлов и результатьт его представила в следующей таблице (х. - содержание солей (мг/м3), п. - число проб с содержанием солей х)...

Дата выполнения: 25/05/2007

Вариант 09

Задание 9
А) В урне 22 белых, 33 красный и 44 черных шара. Найти вероятность того, что случайно отобранный шар окажется цветным.
Б) В отдаленной стране парк автомобилей неизменен, а их номера обозначаются тремя буквами. Алфавит страны насчитывает 15 букв. Найти вероятность того, что у случайно встреченной машины буквы в номере не повторяются.

Задание 19
Приборы одного наименования изготавливаются двумя разным заводам. Первый завод поставляет 2/3 приборов, поступающих на рынок, второй 1/3. Надежность приборов, изготовленных первым заводом, равна 0,9, вторым – 0,96. Какова вероятность того, что случайно отобранный прибор является надежным? Кто более вероятный поставщик надежного прибора?

Задание 29
Налоговая инспекция проверяет предприятий. По статистике вероятность неуплаты налогов предприятием оценивается как р=0,8. Пусть число предприятий, не уплативших налоги. Найдите вероятность...
• по формуле Бернулли
• по формуле Лапласа

Задание 39
Батарея состоит из 3-х орудий. Вероятность попадания из 1-го, 2-го и 3-го орудий равны, соответственно 0,6; 0,7 и 0,9. Каждое орудие стреляет по цели 1 раз. Пусть Х – число попаданий в мишень. Составьте закон распределения случайной величины Х. Найдите M(X), D(X).

Задание 49
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(-6<х<-1) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...

Задание 59
Данные о размере изделий, изготавливаемых станком-автоматом, представили в следующей таблице...
По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее х , выборочную дисперсию D , выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:...;
3.Выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик;
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 24/11/2009

Вариант 10

Задание 10
А) Монета брошена 3 раза. Найти вероятность того, что хотя бы 1 раз появится «решка».
Б) Какова вероятность угадать 3 номера «Спортлото 5 из 36»?

Задание 20
Завод собирает телевизоры из кинескопов, поставляемых тремя фирмами. Первая поставляет 20% кинескопов, вторая – 30%, третья – 50%. Статистика показывает, что надежность кинескопов (вероятность безотказной работы в течение определенного промежутка времени) составляет, соответственно, 0,8, 0,9 и 0,86.Определить вероятность того, что отказавший во время проверки кинескоп, изготовлен второй фирмой.

Задание 30
Машинистка должна напечатать n страниц текста. Вероятность того, что на странице она допустит хотя бы 1 ошибку, р=0,2. Пусть m число страниц с ошибками. Найдите вероятность...
• по формуле Бернулли
• по формуле Лапласа

Задание 40
Три баскетболиста должны произвести по одному броску мяча. Вероятности попадания мяча в корзину для 1-го, 2-го и 3-го баскетболиста равны соответственно 0,95; 0,85 и 0,7. Пусти Х – число попаданий мяча в корзину. Составьте закон распределения случайной величины Х. Найдите M(X), D(X).

Задание 50
Найдите с, М(Х), D(Х), F(Х), Р(5<х<11) , если плотность распределения f(x) случайной величины X имеет вид...

Задание 60
На сыродельном заводе взвесили 100 головок сыра одного сорта и результаты представили в следующей таблице...
По заданному распределению выборки:
1.построить полигон частот;
2.вычислите выборочное среднее х , выборочную дисперсию D , выборочное среднеквадратическое отклонение s по формулам:...;
3.Выпишите эмпирическую плотность распределения с учётом найденных выборочных статистик;
4.изобразите кривую распределения и визуально сравните с построенным ранее полигоном частот;
5.проверьте гипотезу о нормальном распределении исследуемого количественного признака по критерию Пирсона;
6.если гипотеза о нормальном распределении принимается, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Дата выполнения: 23/10/2009