МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет) (СПбГТИ(ТУ)) Кафедра математики Численные методы и алгоритмы решения дифференциальных уравнений Контрольные работы для студентов заочной формы обучения Четвертый семестр Санкт-Петербург 2018
Контрольная работа 1 Обыкновенные дифференциальные уравнения Задание 1 По условию задачи составьте дифференциальное уравнение и, решив его, ответьте на вопросы. Задание 2 Для заданного дифференциального уравнения вида y'=f(x,y) 1. Найдите уравнение линии экстремумов и постройте ее 2. Найдите линию (возможных) перегибов 3. Постройте изоклины и поле направлений 4. Постройте (графически) интегральную кривую, проходящую через заданную точку M(x0,y0) 5. Найдите аналитически общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения и решение задачи Коши. y'=f(x,y), y(x0)=y0 Контрольная работа 2 Применение степенных рядов для решения дифференциальных уравнений Задание 1 Найдите указанное число первых членов (считая нулевые) разложения в степенной ряд решения задачи Коши для дифференциального уравнения. Задание 2 Для нахождения решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения порядка в виде степенного ряда: - составьте рекуррентную формулу для коэффициентов степенного ряда - выпишите первые члены степенного ряда (ненулевые) до x8 включительно. Контрольная работа 3 Дифференциальные уравнения в частных производных Решите дифференциальное уравнение в частных производных при заданных начальных и граничных условиях методом разделения переменных (методом Фурье). 1. Запишите точное решение задачи (u(x,t)) в виде суммы ряда и выражение для скорости (v(x,t)=du/dt). 2. Выпишите частичную сумму ряда (удержать три первых слагаемых) 3. Постройте графики частичных сумм ряда u(x,0) и u(x,0.9) для двух первых слагаемых. 4. Постройте аналогичные графики для суммы 50 первых слагаемых.
Вариант определяется по первой букве фамилии. Стоимость выполнения контрольной работы уточняйте при заказе. Готовы следующие варианты контрольной работы:
Контрольная работа 1. Вариант 1 (А). Задание 1. Два сообщающихся сосуда имеют форму параллелепипедов, основаниями которых являются квадраты со сторонами a и b. Диаметр отверстия между сосудами равен d. Начальная разность уровней жидкости в сосудах составляет h. Предполагается, что скорость истечения жидкости (м/с) через отверстие подчиняется закону где g=9,81 м/с2, φ = 0,61, z1 и z2 - уровни жидкости в первом и во втором сосуде соответственно. Найдите зависимость разности уровней от времени и ответьте на следующие вопросы. 1. Через какое время в сосудах установится одинаковый уровень жидкости? (a=0,7; b=1,5; d=0,03; h=3). 2. Чему равен диаметр отверстия между сосудами, если через время t после его открытия устанавливается одинаковый уровень жидкости в сосудах? (a=0,7; b=1,5; t=20; h=3). 3. Чему равны размеры основания первого сосуда, если за время t разность уровней изменится на l? (l=0,7; b=2; t=15; h=3). 4. Каковы размеры основания второго сосуда, если за время t разность уровней изменится на l? (a=1,3; l=1; t=15; h=2,5).
Все размеры указаны в метрах, а время – в секундах. Задание 2. y' = y-x2, M(1;2)
Работу высылаем в формате Word + копия PDF
Контрольная работа 2. Вариант 1 (А). 1. y' = y3 - x, y(0) = 1 (пять членов) 2. (x2-1)y'' + (x+3)y' - y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1
Контрольная работа 3. Вариант 1 (А).
Контрольная работа 1. Вариант 2 (Б). Задание 1. Скорость истечения воды из отверстия на расстоянии h по вертикали от свободной поверхности определяется формулой
где c=0.6 – эмпирический коэффициент, g = 9.81 м/с2 – ускорение свободного падения. Вода заполняет полусферический сосуд диаметра D, на дне которого в начальный момент времени открывается отверстие радиуса r. Найдите зависимость объёма воды в сосуде от времени и ответьте на следующие вопросы. 1. За какое время вода из сосуда вытечет полностью? (D = 3.4 м; r = 0.23 м). 2. Каков радиус отверстия в дне сосуда, если вода из него полностью вытекла за время t1? (D = 3.4 м; t1 = 44 c).
Задание 2. yy' =-2x, M(0;5)
Контрольная работа 2. Вариант 2 (Б). 1. y' = ey + xy, y(0) = 0 (пять членов) 2. y'' - xy' +6y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0
Контрольная работа 3. Вариант 2 (Б).
Контрольная работа 1. Вариант 3 (В). Задание 1.
Имеется шар из расщепляющегося вещества постоянной плотности. В начальный момент времени число свободных нейтронов в веществе равно N0. В этот момент включается источник нейтронов, вводящий в шар q нейтронов в секунду. В результате столкновений свободных нейтронов с атомными ядрами в единицу времени возникает дополнительное число нейтронов пропорционально числу имеющихся с коэффициентом пропорциональности α. Число нейтронов, покидающих вещество, также пропорционально их текущему количеству (коэффициент пропорциональности β). Найдите зависимость числа свободных нейтронов от времени и ответьте на следующие вопросы. 1. Сколько свободных нейтронов было в начальный момент времени, если через время t их количество увеличилось на Q %? (q = 200; Q = 50 %; t=3600 c; β - α = 5·10-6). 2. Какова мощность источника нейтронов, если спустя t с количество свободных нейтронов увеличилось в m раз? (N0 = 1000000; m = 3; t = 3600 c; β - α = 5·10-6).
Задание 2. y' = 2+y2, M(1;2)
Контрольная работа 2. Вариант 3 (В). 1. y'' = x siny', y(1) = 0, y'(1) =п/2 (шесть членов) 2. (x+1)y'' = (x-1)y' + y, y(0) = 1, y'(0) = -1
Контрольная работа 3. Вариант 3 (В).
Контрольная работа 1. Вариант 5 (Д). Задание 1. В резервуаре имеется V л раствора, содержащего M кг соли. Дно резервуара покрыто слоем слежавшейся соли. В резервуар поступает чистая вода со скоростью v л/мин. Одновременно из резервуара с той же скоростью удаляется раствор. Перемешивание обеспечивает одинаковую концентрацию соли во всём объёме резервуара. Предполагается, что скорость растворения твёрдой соли пропорциональна разности между концентрациями действительного и насыщенного раствора (C = 0,3 кг/л). Если бы вода была чистой, то скорость растворения составила бы m кг/мин.
Найдите зависимость количества растворённой соли от времени и ответьте на следующие вопросы. 1. Сколько соли было в резервуаре в начальный момент времени, если через t мин её концентрация уменьшилась на P%? (P=10%; V=80; v=30; t=10; m=1). 2. Сколько соли было в резервуаре в начальный момент времени, если через t мин её концентрация становится постоянной с точностью до Q%? (Q = 3%; V = 80; v = 30; t = 10; m = 1). 3. Через сколько минут после начала процесса количество соли в резервуаре уменьшится на P%? (P = 10%; V = 80; v = 30; M = 6; m = 1). 4. Через сколько минут после начала процесса концентрация раствора становится постоянной с точностью до Q%? (Q = 3%; V = 80; v = 30; m = 1).
Задание 2. y' = (y-1)x, M(1;3/2)
Контрольная работа 2. Вариант 5 (Д). 1. y' = x+1/y, y(0) = 1 (пять членов) 2. (2x-1)y'' + 2(x-1)y' + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1
Контрольная работа 3. Вариант 5 (Д).
Контрольная работа 1. Вариант 11 (Л). Задание 1.
В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна его наличному количеству. Первоначально количество фермента было a, а через час оно увеличилось в r раз.
Найдите зависимость количества фермента от времени и ответьте на следующие вопросы. 1. Во сколько раз увеличилось количество фермента через t1 часов? (r=3,3; t1 = 3). 2. Через сколько часов количество фермента увеличится в b раз? (r=2; b=30).
Задание 2. y' = y-x, M(9/2;1)
Контрольная работа 2. Вариант 11 (Л). 1. y' = y + xey, y(0) = 0 (пять членов) 2. (x2-4)y'' + 4xy' +2y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1
Контрольная работа 3. Вариант 11 (Л).
Контрольная работа 1. Вариант 14 (О). Задание 1. Два химических вещества A и B в процессе химической реакции образуют новое химическое вещество C. Реакция идёт по схеме
A+B→ C т. е. одна молекула A реагирует с одной молекулой B, в результате чего получается одна молекула C. Скорость химической реакции, т.е. скорость образования вещества C - dx/dt (где x(t) количество вещества C в единице объема), пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ A и B. Известно, что начальные значения концентраций A и B были равны a и b соответственно, а через t1 мин концентрация вещества A уменьшилась на P%. Найдите зависимость концентрации вещества C от времени и ответьте на следующие вопросы. 1. Каково количество вещества C, образовавшегося через t1 мин? (a =0.46; b=0.21; P=10%; t1 = 18). 2. За какое время концентрация вещества A уменьшилась на Q %? (a = 0.46; b=0.21; P=10%; t1= 14; Q = 15%). Задание 2. y' = yx, M(0;1)
Контрольная работа 2. Вариант 14 (О). 1. y' = 1+x-+x2-2y2, y(1) = 1 (шесть членов) 2. (1- x2)y'' - 4xy' +40y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1
Контрольная работа 3. Вариант 14 (О).
Контрольная работа 1. Вариант 15 (П). Задание 1.
На дне цилиндрического резервуара, наполненного жидкостью, образовалась щель. Предполагаем, что скорость истечения жидкости пропорциональна высоте её уровня в резервуаре. Известно, что начальный уровень составлял h0 м, а в течение первых суток вытекло a% содержимого. Найдите зависимость уровня жидкости от времени и ответьте на следующие вопросы. 1. Сколько жидкости осталось в резервуаре через t1 дней? (a = 23%; h = 6.1; t1 = 2). 2. Сколько времени потребуется, чтобы из резервуара вытекло b% жидкости? (a = 10%; b = 54%).
Задание 2. yy' = x/2, M(4;2)
Контрольная работа 2. Вариант 15 (П). 1. yy'+y' +y =0, y(0) = 1, y'(0) = 0 (семь членов) 2. (2x + 1)y'' = (2x-3)y' + 2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = -2
Контрольная работа 3. Вариант 15 (П).
Контрольная работа 1. Вариант 16 (Р). Задание 1. В бак с чистой водой объёмом V л со скоростью b л/мин вливается раствор, содержание соли в котором определяется зависимостью
Найдите зависимость количества соли в баке от времени и ответьте на следующие вопросы. 1. Когда количество соли в баке станет наибольшим и каково это наибольшее значение? (V = 300; a = 12,5; b = 9,5). 2. Сколько соли станет в баке через t1 минут? (V = 300; a = 20; b = 24; t1 = 16).
Задание 2. 2(x+y' )= x+3, M(1;1/2)
Контрольная работа 2. Вариант 16 (Р). 1. y'' = xy' - y2, y(0) = 1, y'(0) = 2 (пять членов) 2. (1-x2)y'' -3xy' +48y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0
Контрольная работа 3. Вариант 16 (Р).
Контрольная работа 1. Вариант 17 (С). Задание 1.
Сосуд объёмом Vл содержит воздух (80% азота и 20% кислорода). В сосуд втекает a литров азота в секунду. Азот непрерывно перемешивается с воздухом. Смесь покидает сосуд с той же скоростью, с которой поступает азот.
Найдите зависимость содержания азота от времени и ответьте на следующие вопросы. 1. Через сколько времени в сосуде будет p% азота? (V =200; a = 10; p = 91,5%). 2. Какое процентное содержание азота будет в сосуде через t1 с? (V =360; a = 13,5; t1 = 10).
Задание 2. y' = x+2y, M(3;0)
Контрольная работа 2. Вариант 17 (С). 1. y' = 2x+cosy, y(0) = 0 (пять членов) 2.(x+1/4)y'' - (2x-1)y' + y=0, y(0) = 1, y'(0) = 2
Контрольная работа 3. Вариант 17 (С).
Контрольная работа 1. Вариант 18 (Т). Задание 1. Кривая проходит через точку M0 с координатами (x0; y0) и ограничивает вместе с осью Ox и прямыми x = a, x = b криволинейную трапецию, площадь которой удовлетворяет равенству S= 2xy-x3, x€[a,b]
Найдите уравнение линии y=y(x) и зависимость площади криволинейной трапеции от x. Чему равна площадь криволинейной трапеции, соответствующая значению x = x0? (a = 4.6; b = 12.8; x0 = 1; y=7.5)
Задание 2. xy' = 2y, M(1;3)
Контрольная работа 2. Вариант 18 (Т). 1. y'' = yex, y(0) = 1, y'(0) = 0 (шесть членов) 2. (1-x2)y'' + xy' + 25y = 0, y(0) =1, y'(0) = 1
Контрольная работа 3. Вариант 18 (Т).
Контрольная работа 1. Вариант 19 (У). Задание 1.
Пусть в начальный момент времени тело массы m постоянной теплоёмкости C имеет температуру Θ0. Температура окружающей среды считается постоянной и равна ΘC (Θ0 > ΘC). Предполагается выполненным закон Ньютона, согласно которому тепло, отдаваемое телом за бесконечно малый промежуток времени dt, пропорционально длительности промежутка и разности температур тела и окружающей среды.
Найдите закон охлаждения тела, т.е. зависимость его температуры от времени, и ответьте на следующие вопросы. 1. За какое время температура тела понизится до Θ1, если известно, что за время t2 она понизилась до Θ2? (Θ0 = 300 ° С; ΘС = 20 ° С; Θ1 = 58 ° С; Θ2 = 200 ° С; t2 = 34 единиц времени). 2. Какой была температура тела в момент времени t1, если известно, что за время t2 она понизилась до Θ2? (Θ0 = 250 ° С; ΘС = 24 ° С; Θ2 = 150 ° С; t1 = 10; t2 = 48 единиц времени).
Задание 2. 3yy' =x, M(-3;-2)
Контрольная работа 2. Вариант 19 (У). 1. y' = 1-x2/y + 1, y(0) = 1 (пять членов) 2. (2x+4)y'' =(x-2)y' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = -1/2
Контрольная работа 3. Вариант 19 (У).
Контрольная работа 1. Вариант 21 (Х). Задание 1.
В газовой среде при ионизирующем действии постоянного излучения в единицу времени образуется m положительных и столько же отрицательных ионов на единицу объёма газа. Часть положительных ионов рекомбинирует в результате столкновений с отрицательными ионами. Частота столкновений пропорциональна произведению плотностей сталкивающихся ионов с коэффициентом пропорциональности k (k / m = a2). В начальный момент времени плотности положительных и отрицательных ионов были равны x0.
Найдите зависимость количества положительных ионов в единице объема от времени и ответьте на следующие вопросы. 1. В какой момент времени t2 плотность положительных ионов увеличится на P %, если в момент времени t1 плотность равна x1? (a = 37416,57; P = 19%; x0 = 240; x1 = 1000; t1 = 17 c). 2. В какой момент времени t1 плотность положительных ионов будет равна x1, если к моменту времени t2 она увеличилась на P %? (a = 37416,57; P = 19%; x0 = 240; x1 = 2400; t2 = 10 c).
Задание 2. x2-y2 + 2xyy' = 0, M(-2;1)
Контрольная работа 2. Вариант 21 (Х). 1. y'+yy''-2 = 0, y(0) = 0, y'(0)=0 (девять членов) 2. (x2-1)y'' + (x-3)y' - y = 0, y(0) = -2, y'(0) = 0
Контрольная работа 3. Вариант 21 (Х).
Контрольная работа 1. Вариант 22 (Ю). Задание 1.
Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на поверхность. Найдите долю первоначального потока, доходящего до произвольно заданной глубины, и ответьте на следующие вопросы. 1. Какой процент первоначального светового потока дойдёт до глубины b м, если при прохождении через слой толщиной a м поглощается 1/3 первоначального потока? (a = 2.5; b = 3.5). 2. Какая часть светового потока дойдёт до глубины a м, если до глубины b м доходит P% первоначального светового потока? (a = 2.6; b = 1.6; P=64%).
Задание 2. y' = x2-y, M(2;3/2)
Контрольная работа 2. Вариант 22 (Ю). 1. y' = 4x - 2y2, y(0) = 0 (девять членов) 2. y''-xy' + 7y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1
Контрольная работа 3. Вариант 22 (Ю).
Контрольная работа 3. Вариант 23 (Ч).
Контрольная работа 1. Вариант 24 (ШЩ). Задание 1.
Известно, что скорость растворения соли пропорциональна разности между концентрациями насыщенного и действительного (наличного) растворов. В начальный момент времени в растворе было x0 кг соли, количество соли в насыщенном растворе y0 кг (y0 > x0). Скорость растворения соли в чистом растворителе – 0,6 кг / мин. Найдите зависимость количества соли от времени и ответьте на следующие вопросы. 1. За какое время растворится вся соль? (x0 = 3,2; y0 = 14,2). 2. Какое количество соли было в растворе первоначально, если известно, что вся соль растворилась через t1 мин? (t1 = 3,6; y0 = 14,2).
Задание 2. yy' = -x, M(2;3)
Контрольная работа 2. Вариант 24 (ШЩ). 1. y'' = yy' + x2, y(0) = 1, y'(0) = 0 (пять членов) 2. y'' -2xy' + 12y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0
Контрольная работа 3. Вариант 24 (ШЩ).
Контрольная работа 1. Вариант 25 (ЭЯ). Задание 1.
Для очистки газа от газообразной примеси его пропускают через скуббер (сосуд, содержащий поглотитель). Количество газообразной примеси, поглощаемое слоем поглотителя при установившемся режиме работы аппарата, пропорционально концентрации примеси, толщине слоя и площади поперечного сечения слоя. Скуббер имеет форму конуса с радиусом основания R и высотой H. Газ поступает через вершину конуса.
Найдите зависимость концентрации газообразной примеси (q) от расстояния от вершины конуса (h) и ответьте на следующие вопросы. 1. Какова концентрация примеси в поступающем газе, если в выходящем газе она равна b1 %, а на высоте H/2 – b2 %? (b1 = 7,8%, b2 = 17%). 2. Какова концентрация примеси в выходящем газе, если в поступающем газе она равна a %, а на высоте H/2 – b%? (b = 13.6%, a = 17%).
Задание 2. y' = y-x, M(4;2)
Контрольная работа 2. Вариант 25 (ЭЯ). 1. y'' = (y')2 +y, y(0) = 0, y'(0) = 1 (пять членов) 2. (x+1)y'' - (x+3)y' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 4
Контрольная работа 3. Вариант 25 (ЭЯ).
Telegram:
WhatsApp: